Tìm a để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{4x + a}}{{x + 1}}}&{{\rm{khi}}\;\,\,x \le 1}\\{\frac{{{x^3} - {x^2} + 3x - 3}}{{{x^2} - 1}}}&{{\rm{khi}}\;\,\,x > 1}\end{array}} \right.\) liên tục tại \(x = 1\).

Đáp án:

Chia cả tử và mẫu cho \({x^2}\): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2}\sqrt 2 + 2x}}{{2{x^2} - 3x + 7}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt 2 + \frac{2}{x}}}{{2 - \frac{3}{x} + \frac{7}{{{x^2}}}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

So sánh với dạng \(\frac{{\sqrt m }}{n}\) ta được: \(m = 2,\quad n = 2\).

Vậy \(T = 2 + 2 = 4\).

Đáp số: \(4\).

a) Xét tam giác \(SCD\):

\(H\) là trung điểm của \(SD\) (giả thiết).

\(P\) là trung điểm của \(CD\) (giả thiết).

Suy ra \(HP\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\)\( \Rightarrow HP{\rm{//}}SC\).

Mặt khác:

Đường thẳng \(SC\) nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) (\(SC \subset \left( {SAC} \right)\)).

Đường thẳng \(HP\) không nằm trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) (\(HP \not\subset \left( {SAC} \right)\)).

Do đó, theo dấu hiệu nhận biết đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có: \(HP{\rm{//}}\left( {SAC} \right)\).

b) Xét tam giác \(SBD\):

\(H\) là trung điểm của \(SD\) (giả thiết).

\(O\) là trung điểm của \(BD\) (do \(O\) là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(ABCD\)).

Suy ra \(OH\) là đường trung bình của tam giác \(SBD\)\( \Rightarrow OH{\rm{//}}SB\).

Vì \(SB \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(OH{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) (1).

Xét tam giác \(BCD\):

\(O\) là trung điểm của \(BD\).

\(P\) là trung điểm của \(CD\) (giả thiết).

Suy ra \(OP\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\)\( \Rightarrow OP{\rm{//}}BC\).

Vì \(BC \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(OP{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\) (2).

Trong mặt phẳng \(\left( {OHP} \right)\), hai đường thẳng \(OH\) và \(OP\) cắt nhau tại \(O\) và cùng song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Theo định lý về hai mặt phẳng song song, ta suy ra: \(\left( {OHP} \right){\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).

Lưu ý: Ngoài cách trên, ta cũng có thể chứng minh bằng cách sử dụng hai đường thẳng \(HP\) và \(OP\) cắt nhau tại \(P\) và cùng song song với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) (với \(HP{\rm{//}}SC \Rightarrow HP{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\)).