Cho hệ bất phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y < 1}\\{2x + y \ge 3}\end{array}} \right.\). Cặp số \(\left( {x;y} \right)\) nào sau đây thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho?

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) tại vị trí quả bóng rời chân Messi.

• Trục \(Ox\) theo phương ngang.
• Trục \(Oy\) theo phương thẳng đứng.

Quỹ đạo là một parabol \(\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c\).

• Quả bóng bắt đầu tại gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow c = 0\).
• Đỉnh của parabol là điểm \(I\left( {16;4} \right)\):
• Đỉnh thuộc \(\left( P \right) \Rightarrow 4 = a \cdot {16^2} + b \cdot 16 \Rightarrow 256a + 16b = 4\).
• Tọa độ hoành độ đỉnh \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = 16 \Rightarrow b = - 32a\).

Thay \(b = - 32a\) vào phương trình: \(256a + 16\left( { - 32a} \right) = 4 \Rightarrow - 256a = 4 \Rightarrow a = - \frac{1}{{64}}\).  

Suy ra \(b = - 32 \cdot \left( { - \frac{1}{{64}}} \right) = \frac{1}{2}\).

Do đó, phương trình parabol là: \(y = - \frac{1}{{64}}{x^2} + \frac{1}{2}x\).

Hàng rào chắn cách điểm đá phạt \(10{\rm{\;m}}\), ứng với \(x = 10\). Độ cao của quả bóng tại vị trí hàng rào là:

\(y\left( {10} \right) = - \frac{1}{{64}}{\left( {10} \right)^2} + \frac{1}{2}\left( {10} \right) = - \frac{{100}}{{64}} + 5 = - 1,5625 + 5 = 3,4375 \approx 3,44{\rm{\;m}}\).

Chọn D

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD = BC\) và \(AD{\rm{//}}BC\).

Lại có \(N\) là trung điểm \(AD\) và \(M\) là trung điểm \(BC\), do đó: \(AN = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC = MC\).

Vì \(N \in AD\) và \(M \in BC\) nên đoạn thẳng \(AN\) song song và bằng đoạn thẳng \(MC\).

Do đó, vectơ \(\overrightarrow {MC} \) và \(\overrightarrow {AN} \) cùng hướng và có cùng độ dài, suy ra: \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AN} \).

Biến đổi VT của đẳng thức cần chứng minh: \({\rm{VT}} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NC} \).

Áp dụng quy tắc ba điểm đối với phép cộng vectơ: \({\rm{VT}} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AC} = {\rm{VP}}\).

Vậy \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AC} \) (điều phải chứng minh).