Cô Lan dự định trồng khóm hoa hồng bên trong một đường tròn nội tiếp trong một mảnh đất hình tam giác \(ABC\) trước sân nhà. Biết chiều dài cạnh \(BC\) là \(8{\rm{\;m}}\) và chiều dài tổng hai cạnh \(AB + AC\) là \(12{\rm{\;m}}{\rm{.}}\) Góc giữa hai cạnh \(BA\) và \(BC\) là \(60^\circ \).

 

a) Chu vi mảnh đất hình tam giác \(ABC\) là bao nhiêu mét?

b) Bán kính đường tròn dùng để trồng hoa hồng nội tiếp bên trong tam giác \(ABC\) là bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

a) Đúng. Hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\) có điều kiện \(a \ne 0 \Leftrightarrow m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\).

b) Đúng. Hàm đa thức xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\), nên \(D = \mathbb{R}\).

c) Sai. Ta có \({x^2} + 2x + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) và \({x^2} + 1 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

d) Sai. Khi \(m = 3\), hàm số là \(y = 2{x^2} - 4x + 3\).

Tọa độ đỉnh có \({y_I} = - \frac{{\rm{\Delta }}}{{4a}} = - \frac{{{{\left( { - 4} \right)}^2} - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{{4 \cdot 2}} = - \frac{{16 - 24}}{8} = 1\).

Vì \(a = 2 > 0\) nên tập giá trị của hàm số là \(T = \left[ {1; + \infty } \right)\).

a) Vì \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) có \(AB{\rm{//}}CD\), \(AB = a\) và \(CD = 2a\), ta có:

• \(\overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} \) (vì \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} \) và \(CD = 2AB\)).
• \(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} \).

Biểu diễn tổng hai vectơ: \(\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DA} + 3\overrightarrow {AB} \).

Do \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) nên \(DA \bot AB\), suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {DA} \) và \(\overrightarrow {AB} \) vuông góc với nhau.

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} } \right|{^2} = \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {3AB} } \right|{^2} = \left| {\overrightarrow {DA} } \right|{^2} + \left| {3\overrightarrow {AB} } \right|{^2} + 2\overrightarrow {DA} \cdot 3\overrightarrow {AB} = {a^2} + {\left( {3a} \right)^2} + 0 = 10{a^2}\).

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} } \right| = a\sqrt {10} \).

b) Vì \(\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MC} \Rightarrow \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \).

Xét tam giác \(BDC\):

• \(BH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(CD\) (do \(H\) là trung điểm \(CD\)).
• \(DM\) là đường thẳng nối từ đỉnh \(D\) cắt cạnh \(BC\) tại \(M\) với \(BM = \frac{3}{4}BC\).

\(K\) là giao điểm của \(BH\) và \(DM\).

Sử dụng phương pháp biểu diễn vectơ:

Do \(K \in BH \Rightarrow \overrightarrow {BK} = x\overrightarrow {BH} \) với \(x \in \mathbb{R}\).

Ta có: \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {BK} = \frac{x}{2}\overrightarrow {BD} + \frac{x}{2}\overrightarrow {BC} \).

Ta biểu diễn \(\overrightarrow {DK} \) theo \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ta có \(\overrightarrow {DK} = \overrightarrow {BK} - \overrightarrow {BD} = \left( {\frac{x}{2} - 1} \right)\overrightarrow {BD} + \frac{x}{2}\overrightarrow {BC} \).

Tương tự, với điểm \(M\) ta có: \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BD} = - \overrightarrow {BD} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \).

Mặt khác, \(K \in DM\) nên ba điểm \(D,K,M\) thẳng hàng.

Vì \(\overrightarrow {DK} \) cùng phương với \(\overrightarrow {DM} \) nên tỉ số các hệ số tương ứng phải bằng nhau, tức là

\(\frac{{\frac{x}{2} - 1}}{{ - 1}} = \frac{{\frac{x}{2}}}{{\frac{3}{4}}}\)\( \Leftrightarrow 1 - \frac{x}{2} = \frac{2}{3}x \Leftrightarrow 1 = \frac{x}{2} + \frac{2}{3}x = \frac{7}{6}x \Leftrightarrow x = \frac{6}{7}\).

Thay \(x = \frac{6}{7}\) vào biểu thức của \(\overrightarrow {BK} \) ta được \(\overrightarrow {BK} = \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{3}{7}\overrightarrow {BD} + \frac{3}{7}\overrightarrow {BC} \).