Cho \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) có \(AB = AD = a\), \(CD = 2a\).

a) Tính \(\left| {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} } \right|\) theo \(a\).

b) Gọi \(H\) là trung điểm \(DC\), \(M\) là điểm thỏa \(\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MC} \), gọi \(K\) là giao điểm của \(DM\) và \(BH\). Biểu thị \(\overrightarrow {BK} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).

a) Vì \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) có \(AB{\rm{//}}CD\), \(AB = a\) và \(CD = 2a\), ta có:

• \(\overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} \) (vì \(\overrightarrow {DC} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {AB} \) và \(CD = 2AB\)).
• \(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} \).

Biểu diễn tổng hai vectơ: \(\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \left( {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DA} + 3\overrightarrow {AB} \).

Do \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) nên \(DA \bot AB\), suy ra hai vectơ \(\overrightarrow {DA} \) và \(\overrightarrow {AB} \) vuông góc với nhau.

Khi đó \(\left| {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} } \right|{^2} = \left| {\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {3AB} } \right|{^2} = \left| {\overrightarrow {DA} } \right|{^2} + \left| {3\overrightarrow {AB} } \right|{^2} + 2\overrightarrow {DA} \cdot 3\overrightarrow {AB} = {a^2} + {\left( {3a} \right)^2} + 0 = 10{a^2}\).

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} } \right| = a\sqrt {10} \).

b) Vì \(\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MC} \Rightarrow \overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \vec 0 \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \).

Xét tam giác \(BDC\):

• \(BH\) là đường trung tuyến ứng với cạnh \(CD\) (do \(H\) là trung điểm \(CD\)).
• \(DM\) là đường thẳng nối từ đỉnh \(D\) cắt cạnh \(BC\) tại \(M\) với \(BM = \frac{3}{4}BC\).

\(K\) là giao điểm của \(BH\) và \(DM\).

Sử dụng phương pháp biểu diễn vectơ:

Do \(K \in BH \Rightarrow \overrightarrow {BK} = x\overrightarrow {BH} \) với \(x \in \mathbb{R}\).

Ta có: \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {BK} = \frac{x}{2}\overrightarrow {BD} + \frac{x}{2}\overrightarrow {BC} \).

Ta biểu diễn \(\overrightarrow {DK} \) theo \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) ta có \(\overrightarrow {DK} = \overrightarrow {BK} - \overrightarrow {BD} = \left( {\frac{x}{2} - 1} \right)\overrightarrow {BD} + \frac{x}{2}\overrightarrow {BC} \).

Tương tự, với điểm \(M\) ta có: \(\overrightarrow {DM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BD} = - \overrightarrow {BD} + \frac{3}{4}\overrightarrow {BC} \).

Mặt khác, \(K \in DM\) nên ba điểm \(D,K,M\) thẳng hàng.

Vì \(\overrightarrow {DK} \) cùng phương với \(\overrightarrow {DM} \) nên tỉ số các hệ số tương ứng phải bằng nhau, tức là

\(\frac{{\frac{x}{2} - 1}}{{ - 1}} = \frac{{\frac{x}{2}}}{{\frac{3}{4}}}\)\( \Leftrightarrow 1 - \frac{x}{2} = \frac{2}{3}x \Leftrightarrow 1 = \frac{x}{2} + \frac{2}{3}x = \frac{7}{6}x \Leftrightarrow x = \frac{6}{7}\).

Thay \(x = \frac{6}{7}\) vào biểu thức của \(\overrightarrow {BK} \) ta được \(\overrightarrow {BK} = \frac{6}{7} \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{3}{7}\overrightarrow {BD} + \frac{3}{7}\overrightarrow {BC} \).