(1,0 điểm). Cho tam giác đều \(ABC\) có độ dài cạnh bằng \(a\) (cm). Trên đoạn thẳng \(AC\), lấy điểm \(E\) sao cho \(EA = 2EC\). Trên đoạn thẳng \(BC\), lấy điểm \(F\) sao cho \(FB = 4FC\).

a) Tính \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \) (theo \(a\)).

b) Chứng minh rằng \(BE \bot AF\).

a) Vì là tam giác đều cạnh \(a\) nên \(AB = AC = a\) và \(\widehat {BAC} = 60^\circ \).

Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \) là: \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos \widehat {BAC} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = {a^2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\).

b) Từ giả thiết \(EA = 2EC\) và \(E \in AC\), ta có \(\overrightarrow {AE} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \).

Từ giả thiết \(FB = 4FC\) và \(F \in BC\), ta có \(BF = \frac{4}{5}BC\), suy ra \(\overrightarrow {BF} = \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} \).

Biểu diễn \(\overrightarrow {BE} \) và \(\overrightarrow {AF} \) theo hai vectơ không cùng phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):

\(\overrightarrow {BE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \);

\(\overrightarrow {AF} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} \).

Xét tích vô hướng \(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AF} \):

\(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AF} = \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \cdot \left( {\frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{5}\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = \frac{2}{{15}}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{8}{{15}}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{5}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{4}{5}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \)

\( = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{8}{{15}}{\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} - \frac{1}{5}{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2}\).

Thay \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}\) và \({\left| {\overrightarrow {AB} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {AC} } \right|^2} = {a^2}\) vào biểu thức:

\(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AF} = - \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{{{a^2}}}{2}} \right) + \frac{8}{{15}}{a^2} - \frac{1}{5}{a^2}\)\( = - \frac{1}{3}{a^2} + \frac{8}{{15}}{a^2} - \frac{1}{5}{a^2} = \left( { - \frac{5}{{15}} + \frac{8}{{15}} - \frac{3}{{15}}} \right){a^2} = 0\).

Vì \(\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AF} = 0\) nên \(BE \bot AF\).