Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a = 12\) cm. Gọi \(E\) là trung điểm của cạnh \(CD\). Kẻ \(AF \bot BE\) tại \(F\)\(\left( {F \in BE} \right)\). Đường thẳng \(AF\) cắt cạnh \(BC\) tại \(K\). Tính diện tích tam giác \(BFK\) (đơn vị: cm²).

Chọn C.

Hình ảnh thang, tường và mặt đất tạo thành một tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) với \(AB\) là mặt tường, \(BC\) là độ dài của thang \[\left( {5{\rm{ m}}} \right)\], \(AC\) là khoảng cách từ chân thang đến tường\(\left( {3\,\,{\rm{m}}} \right)\) được mô tả bởi hình vẽ dưới đây:

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\) hay \(AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4\) (m).

Vậy đỉnh thang chạm tường ở độ cao \(4\) mét so với mặt đất.

Đáp án: a) Đúng.                    b) Sai.                c) Đúng.        d) Đúng.

a) Đúng. Ta có các tỉ số: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) và \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) suy ra \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) .

b) Sai. Xét  \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat {A\,\,}\) là góc chung và \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}\).

Do đó $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$ (c.g.c).

c) Đúng. Vì $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$ nên \(\frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{2}{3}\) suy ra \(DE = \frac{2}{3} \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8\) (cm).

Vì \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} = \frac{2}{3}\) nên theo định lí Thales đảo trong tam giác \(ABC\) thì \(DE\,{\rm{//}}\,BC\).

Vì \(DE\,{\rm{//}}\,BC\) nên \(\widehat {IED} = \widehat {IBC}\) và \(\widehat {IDE} = \widehat {ICB}\) (hai góc so le trong) suy ra $\Delta IDE\backsim \Delta ICB$ (g.g). \(\)

d) Đúng. Ta có  $\Delta IDE\backsim \Delta ICB$ với tỉ số đồng dạng \(k = \frac{{DE}}{{CB}} = \frac{{ID}}{{IC}} = \frac{{IE}}{{IB}} = \frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}\).

Suy ra \(ID = \frac{2}{3} \cdot IC;\,\,IE = \frac{2}{3} \cdot IB;\,\,DE = \frac{2}{3} \cdot CB\).

Suy ra \(\frac{{{C_{\Delta IDE}}}}{{{C_{\Delta ICB}}}} = \frac{{ID + IE + DE}}{{IC + IB + CB}} = \frac{{\frac{2}{3}IC + \frac{2}{3}IB + \frac{2}{3}CB}}{{IC + IB + CB}} = \frac{{\frac{2}{3}\left( {IC + IB + CB} \right)}}{{IC + IB + CB}} = \frac{2}{3} = k.\)

Chu vi \(\Delta ICB = 18\) cm thì \({C_{\Delta IDE}} = \frac{2}{3} \cdot {C_{\Delta ICB}} = \frac{2}{3} \cdot 18 = 12\) (cm).