Cho tứ diện ABCD có độ dài hai cạnh đối là AB = c và CD = d (c, d > 0). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh đối diện BC và AD. Biết rằng độ dài đoạn thẳng MN thoả mãn đẳng thức ràng buộc sau:
\(M{N^2} + \frac{{c \cdot d}}{2} = \frac{{{{\left( {c + d} \right)}^2}}}{4}\)
Khẳng định nào sau đây về mối quan hệ giữa hai đường thẳng AB và CD là đúng?
Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 30°.
Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 40°.
Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 60°.
Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D.
Gọi P là trung điểm của cạnh AC.
Ta có PN là đường trung bình của tam giác ACD ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}PN//CD\\PN = \frac{1}{2}CD = \frac{d}{2}\end{array} \right.\)
Lại có PM là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}PM//AB\\PM = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}\end{array} \right.\)
Do PN // CD và PM // AB nên góc giữa hai đường thẳng AB và CD chính bằng hoặc là bù với \(\widehat {MPN}\)của tam giác MNP.
Áp dụng định lý cosin cho tam giác MNP ta có:
\(\begin{array}{l}M{N^2} = P{M^2} + P{M^2} - 2 \cdot PM \cdot PN \cdot \cos \widehat {MPN}\\ \Rightarrow M{N^2} = \frac{{{c^2} + {d^2}}}{4} - \frac{{c.d}}{2} \cdot \cos \widehat {MPN}(1)\end{array}\)
Theo giả thiết bài toán, ta có:
\(\begin{array}{l}M{N^2} + \frac{{c.d}}{2} = \frac{{{{\left( {c + d} \right)}^2}}}{4}\\ \Rightarrow M{N^2} = \frac{{{c^2} + {d^2}}}{4}(2)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\begin{array}{l}\frac{{{c^2} + {d^2}}}{4} - \frac{{c.d}}{2}.\cos \widehat {MPN} = \frac{{{c^2} + {d^2}}}{4}\\ \Rightarrow - \frac{{c.d}}{2}.\cos \widehat {MPN} = 0\end{array}\)
Vì c, d > 0 ⇒ \(\cos \widehat {MPN} = 0 \Rightarrow \widehat {MPN} = {90^ \circ }\).
Do đó, tam giác MNP vuông tại P ⇒ \(PM \bot PN\)⇒ \(\left( {AB,CD} \right) = {90^ \circ }\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay
Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn
Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.
- Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
- Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
- Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
- Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
- Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
- Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
- Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
- Đăng ký ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: AC =
⇒ AC2 = 2a2 = SA2 + SC2
Do đó tam giác SAC vuông tại S.
Khi đó:
Do đó, MN vuông góc với SC hay .
Câu 2
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Theo lí thuyết ta có: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Câu 3
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập