Cho tứ diện ABCD có độ dài hai cạnh đối là AB = c và CD = d (c, d > 0). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh đối diện BC và AD. Biết rằng độ dài đoạn thẳng MN thoả mãn đẳng thức ràng buộc sau:
\(M{N^2} + \frac{{c \cdot d}}{2} = \frac{{{{\left( {c + d} \right)}^2}}}{4}\)
Khẳng định nào sau đây về mối quan hệ giữa hai đường thẳng AB và CD là đúng?
Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 30°.
Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 40°.
Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 60°.
Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: D.
Gọi P là trung điểm của cạnh AC.
Ta có PN là đường trung bình của tam giác ACD ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}PN//CD\\PN = \frac{1}{2}CD = \frac{d}{2}\end{array} \right.\)
Lại có PM là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}PM//AB\\PM = \frac{1}{2}AB = \frac{c}{2}\end{array} \right.\)
Do PN // CD và PM // AB nên góc giữa hai đường thẳng AB và CD chính bằng hoặc là bù với \(\widehat {MPN}\)của tam giác MNP.
Áp dụng định lý cosin cho tam giác MNP ta có:
\(\begin{array}{l}M{N^2} = P{M^2} + P{M^2} - 2 \cdot PM \cdot PN \cdot \cos \widehat {MPN}\\ \Rightarrow M{N^2} = \frac{{{c^2} + {d^2}}}{4} - \frac{{c.d}}{2} \cdot \cos \widehat {MPN}(1)\end{array}\)
Theo giả thiết bài toán, ta có:
\(\begin{array}{l}M{N^2} + \frac{{c.d}}{2} = \frac{{{{\left( {c + d} \right)}^2}}}{4}\\ \Rightarrow M{N^2} = \frac{{{c^2} + {d^2}}}{4}(2)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\begin{array}{l}\frac{{{c^2} + {d^2}}}{4} - \frac{{c.d}}{2}.\cos \widehat {MPN} = \frac{{{c^2} + {d^2}}}{4}\\ \Rightarrow - \frac{{c.d}}{2}.\cos \widehat {MPN} = 0\end{array}\)
Vì c, d > 0 ⇒ \(\cos \widehat {MPN} = 0 \Rightarrow \widehat {MPN} = {90^ \circ }\).
Do đó, tam giác MNP vuông tại P ⇒ \(PM \bot PN\)⇒ \(\left( {AB,CD} \right) = {90^ \circ }\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: AC =
⇒ AC2 = 2a2 = SA2 + SC2
Do đó tam giác SAC vuông tại S.
Khi đó:
Do đó, MN vuông góc với SC hay .
Câu 2
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Theo lí thuyết ta có: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.
Câu 3
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập