Bài tập Nhận biết và chứng minh hai đường thẳng vuông góc lớp 11 (có lời giải)

21 người thi tuần này 4.6 1.6 K lượt thi 25 câu hỏi

🔥 Học sinh cũng đã học

229 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 2345

1.8 K lượt thi 21 câu hỏi

111 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 0123

1.7 K lượt thi 21 câu hỏi

151 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Vạn Xuân (Hoài Đức-Hà Nội) có đáp án - Đề chẵn

1.7 K lượt thi 21 câu hỏi

105 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Vạn Xuân (Hoài Đức-Hà Nội) có đáp án - Đề lẻ

1.7 K lượt thi 21 câu hỏi

101 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THCS & THPT Lương Thế Vinh (Hà Nội) có đáp án

1.7 K lượt thi 22 câu hỏi

113 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Nguyễn Gia Thiều (Hà Nội) có đáp án

1.7 K lượt thi 21 câu hỏi

109 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Hoài Đức A (Hà Nội) có đáp án

1.7 K lượt thi 21 câu hỏi

101 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phan Huy Chú (Đống Đa-Hà Nội) có đáp án

1.7 K lượt thi 21 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/25

Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A. AD vuông góc với BC;

B. AD song song với BC;

C. AD cắt BC tại một điểm;

D. Không có khẳng định nào đúng.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau (ảnh 1)

Gọi P là trung điểm của BC.

Vì các tam giác ABC và DBC cân nên:

AP vuông góc với BC

DP vuông góc với BC

Ta có: $\vec{B C} . \vec{A D} = \vec{B C} (\vec{P D} - \vec{P A}) = \vec{B C} . \vec{P D} - \vec{B C} . \vec{P A} = 0$ .

Vậy BC vuông góc với AD

Câu 2/25

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. SA vuông góc với AB;

B. SB vuông góc với SC;

C. SA vuông góc với BC;

D. SA vuông góc với AB.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC (ảnh 1)

Ta có: $\begin{array}{l} \vec{S A} . \vec{B C} = \vec{S A} (\vec{S C} - \vec{S B}) = \vec{S A} . \vec{S C} - \vec{S A} . \vec{S B} \\ = S A . S C . \cos \hat{A S C} - S A . S B . \cos \hat{A S B} \\ = 0 \end{array}$

Vậy SA vuông góc với BC.

Câu 3/25

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁. Chọn khẳng định đúng?

A. Góc giữa AC và BD₁ bằng

90 °

;

B. Góc giữa B₁D₁ và AA₁ bằng

90 °

;

C. Góc giữa AD và B₁C bằng

90 °

;

D. Góc giữa B₁A₁ và A₁C₁ bằng

90 °

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1. Chọn khẳng định đúng (ảnh 1)

Ta có:

$\vec{A A_{1}} . \vec{B_{1} D_{1}} = \vec{B B_{1}} . \vec{B D} = \vec{B B_{1}} . (\vec{B A} + \vec{B C})$ (sử dụng các vectơ bằng nhau và tính chất hình bình hành)

$= \vec{B B_{1}} . \vec{B A} + \vec{B B_{1}} . \vec{B C} = 0$

Vậy góc giữa AA₁ và B₁D₁ bằng $90 °$ .

Câu 4/25

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau;

B. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại

C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau;

D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Theo lí thuyết ta có: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Câu 5/25

Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho $\vec{M A} = k \vec{M B}$ , $\vec{N D} = k \vec{N B}$ . Hai đường thẳng MN và BC có quan hệ:

A. vuông góc;

B. song song;

C. trùng nhau;

D. cắt nhau.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\vec{M A} = k \vec{M B}$ , $\vec{N D} = k \vec{N B}$ , suy ra $\frac{M B}{M A} = \frac{N B}{N D} = - \frac{1}{k}$ .

Từ đó suy ra MN // AD (định lí Thalès đảo trong tam giác ABD). (1)

Gọi I là trung điểm của BC, thì các tam giác ABC và DBC cân nên:

AI vuông góc với BC

DI vuông góc với BC

Ta có: $\vec{B C} . \vec{A D} = \vec{B C} (\vec{I D} - \vec{I A}) = \vec{B C} . \vec{I D} - \vec{B C} . \vec{I A} = 0$

Do đó, BC vuông góc với AD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra BC và MN vuông góc với nhau.

Câu 6/25

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BC, BD, DA. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

A. MNPQ là hình vuông;

B. MNPQ là hình bình hành;

C. MNPQ là hình chữ nhật;

D. MNPQ là hình thoi.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh (ảnh 1)

Đặt AB = AD = AC = a.

Ta có: $\vec{C D} . \vec{A B} = (\vec{A D} - \vec{A C}) . \vec{A B}$

$= \vec{A D} . \vec{A B} - \vec{A C} . \vec{A B} = A B . A D . \cos 60 ° - A B . A C . \cos 60 ° = a . a . \frac{1}{2} - a . a . \frac{1}{2} = 0$

Do đó, AB vuông góc với CD.

Dễ thấy MN, PQ lần lượt là đường trung bình của các tam giác ABC và ABD.

Khi đó, MN // PQ // AB và MN = PQ = $\frac{A B}{2}$ = $\frac{a}{2}$ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành

Lại có:

MN // AB

NP // CD (do NP là đường trung bình của tam giác BCD)

AB ⊥ CD

Khi đó, MN ⊥ NP.

Do đó, MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 7/25

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo góc (MN, SC) bằng:

A. 45 $°$

B. 30 $°$

C. $90 °$

D. 60 $°$

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. (ảnh 1)

Ta có: AC = $a \sqrt{2}$

⇒ AC² = 2a² = SA² + SC²

Do đó tam giác SAC vuông tại S.

Khi đó: $\vec{N M} . \vec{S C} = \frac{1}{2} \vec{S A} . \vec{S C} = 0 \Leftrightarrow (\vec{N M}, \vec{S C}) = 90 °$

Do đó, MN vuông góc với SC hay $(N M, S C) = 90 °$ .

Câu 8/25

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\hat{B A C} = \hat{B A D} = 60 °$ , $\hat{C A D} = 90 °$ . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. AC và IJ vuông góc với nhau;

B. AB là IJ vuông góc với nhau;

C. BD và IJ vuông góc với nhau;

D. AD và IJ vuông góc với nhau.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và góc BAC= BAD=60 độ , CAD= 90 độ (ảnh 1)

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD

Do đó: $\vec{I J} = \frac{1}{2} (\vec{I C} + \vec{I D})$

Tam giác ABC có AB = AC và $\hat{B A C} = 60 °$ nên tam giác ABC đều

Do đó, CI vuông góc với AB (1).

Tương tự, ta có tam giác ABD đều nên DI vuông góc với AB (2).

Từ (1) và (2) có:

$\vec{I J} . \vec{A B} = \frac{1}{2} (\vec{I C} + \vec{I D}) . \vec{A B} = \frac{1}{2} \vec{I C} . \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{I D} . \vec{A B} = 0$ .

Do đó, IJ vuông góc với AB.

Câu 9/25

Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b;

B. Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b;

C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b

D. Nếu a và b cùng nằm trong mặt phẳng song song với c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/25

Cho bài toán sau:

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu: $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A C} . \vec{A D} = \vec{A D} . \vec{A B}$ thì AB vuông góc với CD, AC vuông góc với BD, AD vuông góc với BC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải

Bước 1: $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A C} . \vec{A D} \Leftrightarrow \vec{A C} (\vec{A B} - \vec{A D}) = 0 \Leftrightarrow \vec{A C} . \vec{D B} = 0$

Do đó, AC vuông góc với BD.

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ $\vec{A C} . \vec{A D} = \vec{A D} . \vec{A B}$ ta được AD vuông góc với BC và $\vec{A B} . \vec{A C} = \vec{A D} . \vec{A B}$ ta được AB vuông góc với CD.

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1, bước 2 là quá trình biến đổi tương đương.

Hướng giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Sai ở bước 3;

B. Đúng;

C. Sai ở bước 2;

D. Sai ở bước 1.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 11/25

Trong không gian, các mệnh đề sau, mệnh đều nào đúng?

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 12/25

Trong không gian, cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng?

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì vuông góc với đường thẳng còn lại.

Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.

Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 13/25

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a. Tam giác SAB vuông cân tại A, M là một điểm trên cạnh AD (M ≠ A và M≠D). Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với (SAB), cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.Tứ giác MNPQ là hình gì?

Hình thang vuông.

Hình vuông.

Hình chữ nhật.

Hình bình hành.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 14/25

Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm các đoạn AC, BC, BD, AD. Góc (IE, JF) bằng:

30°.

45°.

60°.

90°.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 15/25

Cho tứ diện ABCD có độ dài hai cạnh đối là AB = c và CD = d (c, d > 0). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh đối diện BC và AD. Biết rằng độ dài đoạn thẳng MN thoả mãn đẳng thức ràng buộc sau:

$M{N^2} + \frac{{c \cdot d}}{2} = \frac{{{{\left( {c + d} \right)}^2}}}{4}$

Khẳng định nào sau đây về mối quan hệ giữa hai đường thẳng AB và CD là đúng?

Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 30°.

Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 40°.

Góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 60°.

Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 16/25

Trong không gian, cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Xác định đúng sai các mệnh đề sau:

a. Nếu a ∥ b thì (a, c) = (b, c).

Đúng

Sai

b. Nếu c ∥ b thì (a, b) = (a, c).

Đúng

Sai

c. Nếu a ⊥ c, b ⊂ (α) thì a ∥ b.

Đúng

Sai

d. Nếu a ⊥ c thì (a, b) = (c, b).

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 17/25

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các đoạn SB, SD. Nhận xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a. MN ∥ BD.

Đúng

Sai

b. MN và AC là hai đường thẳng chéo nhau.

Đúng

Sai

c. AC ⊥ BD

Đúng

Sai

d. (MN, AC) = 90°.

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 18/25

Cho hình chóp S.ABC có độ dài các cạnh SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = $a\sqrt 2 $. M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a. Tam giác ABC vuông tại B.

Đúng

Sai

b. MN vuông góc với AC

Đúng

Sai

c. Góc giữa hai đường thẳng MN và SB bằng 60°.

Đúng

Sai

d. Góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 60°.

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 19/25

Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy một điểm O bất kỳ. Qua O, dựng đường thẳng a′ song song với a và đường thẳng b′ song song với b. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau đây:

a. Góc giữa hai đường thẳng a và b không thay đổi khi ta chọn điểm O ở một vị trí khác trong không gian.

Đúng

Sai

b. Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng c nào đó, đồng thời đường thẳng b cũng vuông góc với đường thẳng c đó thì hai đường thẳng a và b chắc chắn song song với nhau.

Đúng

Sai

c. Hai đường thẳng a′ và b′ không thể vuông góc với nhau tại O.

Đúng

Sai

d. Nếu có một đường thẳng ∆ cắt cả hai đường thẳng a′ và b′, thì đường thẳng ∆ cũng chắc chắn cắt cả hai đường thẳng a và b.

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 20/25

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a. Cho biết SA= $a\sqrt 3 $, SA ⊥ AB, SA ⊥ AD. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a. (AB, SA) = 90°.

Đúng

Sai

b. SA ⊥ CD.

Đúng

Sai

c. (SD, BC) = (SD, CD).

Đúng

Sai

d. SD = 2a.

Đúng

Sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 17/25 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và $\hat{A S B} = \hat{B S C} = \hat{C S A}$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁. Chọn khẳng định đúng?

Cho hai tam giác cân ABC và DBC có chung cạnh đáy BC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và DB sao cho $\vec{M A} = k \vec{M B}$ , $\vec{N D} = k \vec{N B}$ . Hai đường thẳng MN và BC có quan hệ:

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và $\hat{B A C} = \hat{B A D} = 60 °$ , $\hat{C A D} = 90 °$ . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khẳng định nào sau đây là đúng?