Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), đáy ABC là tam giác đều cạnh a và \(SA = \frac{{3a}}{2}\). Tính số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

Đáp án:

Đáp án: 54

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Ta có: BO ⊥ AC

SC ⊥ (ABCD) ⇒ BO ⊥ SC.

Vì BO vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và SC thuộc mặt phẳng (SAC), nên BO ⊥ (SAC) ⇒ BO ⊥ SA

Xét hai mặt phẳng: (SBA) ∩ (SAC) = SA

Trong mặt phẳng (SAC), kẻ OI ⊥ SA (I ∈ SA). (1)

Do SA cùng vuông góc với hai đường thẳng BO và OI cắt nhau tại O và cùng nằm trong mặt phẳng (BIO) ⇒ SA ⊥ (BIO) ⇒ SA ⊥ BI (2)

⇒ Từ (1), (2) ⇒ [B, SA, C] = \(\widehat {BIO}\)

Xét hai tam giác vuông △IAO và △CAS, ta có: \(\widehat {IAO} = \widehat {CAS}\) nên △IAO đồng dạng với △CAS

⇒ \(\frac{{OI}}{{SC}} = \frac{{OA}}{{SA}}\) (*)

Ta có: OA = \(\frac{{AC}}{2}\) = \(\frac{{2a\sqrt 2 }}{2}\) = a\(\sqrt 2 \)

Xét tam giác SAC vuông tại C:

SA = \(\sqrt {S{C^2} + A{C^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = a\[\sqrt {17} \] (định lý Pytago)

Từ (*) ⇒ OI = \(\frac{{OA \cdot SC}}{{SA}}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 \cdot 3a}}{{a\sqrt {17} }}\) = \(\frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}\)a

Mặt khác: BO = \(\frac{{BD}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2}\) = \(a\sqrt 2 \)

Xét tam giác BOI vuông tại O: tan\[\widehat {BIO}\] = \(\frac{{BO}}{{OI}}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{{\frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}a}}\) = \(\frac{{\sqrt {17} }}{3}\) ⇒ \(\widehat {BIO}\) ≈ 54°.

Đáp án đúng là: D

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, M là trung điểm của BC.

Vì SA = SB = SC = SD ⇒ hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là tâm O của hình chữ nhật ABCD ⇒ SO ⊥ (ABCD)

Ta có: ABCD là hình chữ nhật ⇒ AB ⊥ BC; MB ⊂ BC nên MB ⊥ AB

Lại có: M là trung điểm của BC, O là tâm hình chữ nhật ABCD

⇒ OM ∥ AB, mà AB ⊥ BC ⇒ OM ⊥ BC

Mặt khác, SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC.

Vì BC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SO, OM nằm trong mặt phẳng (SOM), nên BC ⊥ (SOM).

Mà: (SOM) ∩ (ABCD) = OM; S, M ∈ (SBC) ⇒ (SOM) ∩ (SBC) = SM.

⇒ \(\widehat {SMO}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A]

Vì OM ∥ AB và OM = \(\frac{{AB}}{2}\) ⇒ OM = 2a

Xét tam giác ABD vuông tại A:

DB = \(\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} \) = \(\sqrt {{{(4a)}^2} + {{(3a)}^2}} \) = 5a (định lý Pytago) ⇒ OD = \(\frac{{DB}}{2}\) = \(\frac{{5a}}{2}\)

Xét tam giác SOD vuông tại O:

SO = \(\sqrt {S{D^2} - O{D^2}} \) = \(\sqrt {{{(5a)}^2} - {{\left( {\frac{{5a}}{2}} \right)}^2}} \) = \(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}\)a (định lý Pytago)

Xét tam giác vuông SMO tại O, ta có: tan\(\widehat {SMO}\) = \(\frac{{SO}}{{OM}}\) = \(\frac{{\frac{{5\sqrt 3 }}{2}a}}{{2a}}\) = \(\frac{{5\sqrt 3 }}{4}\)

⇒ \(\widehat {SMO}\) ≈ 65°12'.