Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), đáy ABC là tam giác đều cạnh a và \(SA = \frac{{3a}}{2}\). Tính số đo góc phẳng nhị diện [S, BC, A].

Đáp án:

Đáp án: 81,4

Gọi M là trung điểm của cạnh BC.

Vì hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SO ⊥ (ABC)

Tam giác ABC đều nên O ∈ AM và AM ⊥ BC ⇒ OM ⊥ BC. (1)

Mặt khác, SO ⊥ (ABC) ⇒ SO ⊥ BC. (2)

Từ (1) và (2), do SO và OM là hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (SOM)

⇒ BC ⊥ (SOM).

Lại có: (SOM) ∩ (SBC) = SM, (SOM) ∩ (OBC) = OM

⇒ [S, BC, O] = \(\widehat {SMO}\)

Vì tam giác ABC đều: AM = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) ⇒ AO = \(\frac{2}{3}\)AM = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Do M là trung điểm của BC ⇒ OM = AM − AO = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2} - \frac{{a\sqrt 3 }}{3} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Xét tam giác vuông SAO:

SO = \(\sqrt {S{A^2} - A{O^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} \) = \(\frac{{a\sqrt {33} }}{3}\) (định lý Pytago)

Xét tam giác vuông SOM tại O: tan\(\widehat {SMO}\) = \(\frac{{SO}}{{OM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {33} }}{3}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{6}}}\) = 2\(\sqrt {11} \) ⇒ \(\widehat {SMO}\) ≈ 81,4°.

Đáp án đúng là: A

Do SB ⊥ SC và SB = SC = 1, nên tam giác SBC vuông cân tại S.

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó SM ⊥ BC.

Mặt khác:

AB² = SA² + SB² = 2 (định lý Pytago trong tam giác SAB vuông tại S)

AC² = SA² + SC² = 2 (định lý Pytago trong tam giác SAC vuông tại S)

Mà SB = SC = SA = 1 ⇒ AB = AC

⇒ Tam giác ABC cân tại A ⇒ Đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao

⇒ AM ⊥ BC

Mặt phẳng (SAM) chứa hai đường thẳng cắt nhau SM, AM đều vuông góc với BC

⇒ (SAM) ⊥ BC.

Mà (SBC) ∩ (SAM) = SM; (ABC) ∩ (SAM) = AM

⇒ α = \(\widehat {SMA}\)là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A]

Xét tam giác SBC vuông cân tại S:

BC = \(\sqrt {S{B^2} + S{C^2}} \) = \(\sqrt {{1^2} + {1^2}} \) = \(\sqrt 2 \) (định lý Pytago) ⇒ BM = \(\frac{{BC}}{2}\) = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông SBM:

SM = \(\sqrt {S{B^2} - B{M^2}} \) = \(\sqrt {1 - \frac{1}{2}} \) = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABM:

AM = \(\sqrt {A{B^2} - B{M^2}} \) = \(\sqrt {2 - \frac{1}{2}} \) = \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

Xét tam giác SAM vuông tại S:

cos α = cos\(\widehat {SMA}\) = \(\frac{{SM}}{{AM}}\) = \(\frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 6 }}{2}}}\) = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).