Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và \(OB = OC = a\sqrt 6 \), OA = a. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [O, BC, A].

Đáp án:

Đáp án: 54

Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Ta có: BO ⊥ AC

SC ⊥ (ABCD) ⇒ BO ⊥ SC.

Vì BO vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và SC thuộc mặt phẳng (SAC), nên BO ⊥ (SAC) ⇒ BO ⊥ SA

Xét hai mặt phẳng: (SBA) ∩ (SAC) = SA

Trong mặt phẳng (SAC), kẻ OI ⊥ SA (I ∈ SA). (1)

Do SA cùng vuông góc với hai đường thẳng BO và OI cắt nhau tại O và cùng nằm trong mặt phẳng (BIO) ⇒ SA ⊥ (BIO) ⇒ SA ⊥ BI (2)

⇒ Từ (1), (2) ⇒ [B, SA, C] = \(\widehat {BIO}\)

Xét hai tam giác vuông △IAO và △CAS, ta có: \(\widehat {IAO} = \widehat {CAS}\) nên △IAO đồng dạng với △CAS

⇒ \(\frac{{OI}}{{SC}} = \frac{{OA}}{{SA}}\) (*)

Ta có: OA = \(\frac{{AC}}{2}\) = \(\frac{{2a\sqrt 2 }}{2}\) = a\(\sqrt 2 \)

Xét tam giác SAC vuông tại C:

SA = \(\sqrt {S{C^2} + A{C^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {{\left( {2a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = a\[\sqrt {17} \] (định lý Pytago)

Từ (*) ⇒ OI = \(\frac{{OA \cdot SC}}{{SA}}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 \cdot 3a}}{{a\sqrt {17} }}\) = \(\frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}\)a

Mặt khác: BO = \(\frac{{BD}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2}\) = \(a\sqrt 2 \)

Xét tam giác BOI vuông tại O: tan\[\widehat {BIO}\] = \(\frac{{BO}}{{OI}}\) = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{{\frac{{3\sqrt {34} }}{{17}}a}}\) = \(\frac{{\sqrt {17} }}{3}\) ⇒ \(\widehat {BIO}\) ≈ 54°.

Đáp án đúng là: A

Do SB ⊥ SC và SB = SC = 1, nên tam giác SBC vuông cân tại S.

Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó SM ⊥ BC.

Mặt khác:

AB² = SA² + SB² = 2 (định lý Pytago trong tam giác SAB vuông tại S)

AC² = SA² + SC² = 2 (định lý Pytago trong tam giác SAC vuông tại S)

Mà SB = SC = SA = 1 ⇒ AB = AC

⇒ Tam giác ABC cân tại A ⇒ Đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao

⇒ AM ⊥ BC

Mặt phẳng (SAM) chứa hai đường thẳng cắt nhau SM, AM đều vuông góc với BC

⇒ (SAM) ⊥ BC.

Mà (SBC) ∩ (SAM) = SM; (ABC) ∩ (SAM) = AM

⇒ α = \(\widehat {SMA}\)là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A]

Xét tam giác SBC vuông cân tại S:

BC = \(\sqrt {S{B^2} + S{C^2}} \) = \(\sqrt {{1^2} + {1^2}} \) = \(\sqrt 2 \) (định lý Pytago) ⇒ BM = \(\frac{{BC}}{2}\) = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông SBM:

SM = \(\sqrt {S{B^2} - B{M^2}} \) = \(\sqrt {1 - \frac{1}{2}} \) = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABM:

AM = \(\sqrt {A{B^2} - B{M^2}} \) = \(\sqrt {2 - \frac{1}{2}} \) = \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

Xét tam giác SAM vuông tại S:

cos α = cos\(\widehat {SMA}\) = \(\frac{{SM}}{{AM}}\) = \(\frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{\sqrt 6 }}{2}}}\) = \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).