Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 45°. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của cạnh BC. Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề sau:

Đáp án:

Đáp án: 69,3

(B'AC) ∩ (ABC) = AC

Gọi I là trung điểm của AC

Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên đường trung tuyến BI đồng thời là đường cao

⇒ BI ⊥ AC

Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng nên B'B ⊥ (ABC)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BI\\AC \bot B'B\end{array} \right.\) ⇒ AC ⊥ (B'BI) ⇒ AC ⊥ B'I

Do BI ⊂ (ABC), B'I ⊂ (B'AC) và cả hai đường thẳng này cùng vuông góc với giao tuyến AC tại I, nên góc phẳng nhị diện [B', AC, B] chính là góc giữa hai tia IB' và IB, tức là góc \(\widehat {B'IB}\)

Tam giác ABC vuông cân tại B có cạnh huyền AC = 2a

BI = \(\frac{{AC}}{2} = \frac{{2a}}{2}\) = a

Vì △ABC vuông cân tại B nên độ dài các cạnh góc vuông là: AB = BC = \(\frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \)

Vì AA' ⊥ (ABC) ⇒ tam giác A'AB vuông tại A.

Xét tam giác A'AB vuông tại A, theo định lý Pytago:

BB' = AA' = \(\sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = \(a\sqrt 7 \)

Xét tam giác B'BI vuông tại B (vì B'B ⊥ BI), ta có:

tan\(\widehat {B'IB}\) = \(\frac{{B'B}}{{BI}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{a} = \sqrt 7 \) ⇒ \(\widehat {B'IB}\) ≈ 69,3°.

Vậy góc phẳng nhị diện [B', AC, B] có số đo xấp xỉ bằng 69,3°.

Đáp án: a) Đúng.b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O′ là giao điểm của A′C′ và B′D′

Ta có: OO′ ∥ AA′ ∥ CC′ ∥ DD′ (do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương)

Khi đó: (ACC′A′) ∩ (BDD′B′) = OO′ (1)

Trong hình vuông ABCD, AC ⊥ BD (2)

Vì OO′ ⊥ (ABCD) ⇒ AC ⊥ OO′ (3)

⇒ Từ (1), (2), (3) ⇒ AC ⊥ (BDD′B′). Mà AC ⊂ (ACC′A′)

⇒ (ACC′A′) ⊥ (BDD′B′)

b) Sai. Vì ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ BD = \(a\sqrt 2 \)

Xét tam giác vuông A′AB vuông tại A:

A′B= \(\sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2}} \) = \(a\sqrt 2 \) (định lý Pytago)

Do đó: A′B = A′D = BD = \(a\sqrt 2 \) ⇒ tam giác A′BD là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \)

Diện tích tam giác đều là: S_A′BD = \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{4} \cdot \) 2a² = \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) ≠ \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).

c) Đúng. Trong hình vuông ABCD, BD ⊥ AC (1)

Lại có: AA′ ⊥ (ABCD) ⇒ AA′ ⊥ BD (2)

Vì AC và AA′ cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (ACC′A′) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ BD ⊥ (ACC′A′).

d) Đúng. Hình chiếu vuông góc của C′ lên mặt phẳng (ABCD) là C

⇒ Hình chiếu của đường thẳng AC′ lên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC

Do đó góc giữa AC′ và (ABCD) là góc \(\widehat {CAC'}\)

Xét tam giác vuông ACC′:

tan\(\widehat {CAC'}\) = \(\frac{{CC'}}{{AC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).