Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 45°. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của cạnh BC. Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề sau:
a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là điểm G.
b. Góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) là góc \(\widehat {SBC}\).
c. Độ dài đoạn thẳng GM bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
d. Chiều cao SG của hình chóp đều bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Theo định nghĩa, hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đáy.
Tâm của tam giác đều ABC chính là trọng tâm G
Do đó, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABC) chính là trọng tâm G.
b) Sai. Ta có: M là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều nên AM ⊥ BC.
Do SG ⊥ (ABC) nên SG ⊥ BC.
⇒ BC ⊥ (SAM) ⇒ BC ⊥ SM.
⇒ Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABC) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến BC tại M, đó là SM và AM.
Vậy góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABC) là góc \(\widehat {SMA}\).
c) Đúng. Vì △ABC là tam giác đều cạnh a nên độ dài đường trung tuyến AM là:
AM = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Do G là trọng tâm của △ABC nên độ dài đoạn thẳng GM bằng \(\frac{1}{3}\) độ dài đường trung tuyến AM:
GM = \(\frac{1}{3}\)AM = \(\frac{1}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
Vậy độ dài đoạn thẳng GM = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
d) Đúng. Xét tam giác vuông SGM vuông tại G.
Ta có góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy (ABC) là \(\widehat {SMA}\) = 45° (theo đề bài)
Trong tam giác vuông SGM, ta có:
tan\(\widehat {SMG}\) = \(\frac{{SG}}{{GM}}\)⇒ SG = GM ⋅ tan\(\widehat {SMG}\) = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\) ⋅ tan45° = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
Vậy chiều cao SG của hình chóp đều bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Mặt phẳng (ACC'A') vuông góc với mặt phẳng (BDD'B').
b. Tam giác A'BD là tam giác đều có diện tích bằng \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).
c. Đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (ACC′A′).
d. Tang góc giữa đường thẳng AC′ và mặt phẳng (ABCD) bằng \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Lời giải
Đáp án: a) Đúng.b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O′ là giao điểm của A′C′ và B′D′
Ta có: OO′ ∥ AA′ ∥ CC′ ∥ DD′ (do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương)
Khi đó: (ACC′A′) ∩ (BDD′B′) = OO′ (1)
Trong hình vuông ABCD, AC ⊥ BD (2)
Vì OO′ ⊥ (ABCD) ⇒ AC ⊥ OO′ (3)
⇒ Từ (1), (2), (3) ⇒ AC ⊥ (BDD′B′). Mà AC ⊂ (ACC′A′)
⇒ (ACC′A′) ⊥ (BDD′B′)
b) Sai. Vì ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ BD = \(a\sqrt 2 \)
Xét tam giác vuông A′AB vuông tại A:
A′B= \(\sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2}} \) = \(a\sqrt 2 \) (định lý Pytago)
Do đó: A′B = A′D = BD = \(a\sqrt 2 \) ⇒ tam giác A′BD là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \)
Diện tích tam giác đều là: SA′BD = \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{4} \cdot \) 2a2 = \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) ≠ \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).
c) Đúng. Trong hình vuông ABCD, BD ⊥ AC (1)
Lại có: AA′ ⊥ (ABCD) ⇒ AA′ ⊥ BD (2)
Vì AC và AA′ cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (ACC′A′) (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ BD ⊥ (ACC′A′).
d) Đúng. Hình chiếu vuông góc của C′ lên mặt phẳng (ABCD) là C
⇒ Hình chiếu của đường thẳng AC′ lên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC
Do đó góc giữa AC′ và (ABCD) là góc \(\widehat {CAC'}\)
Xét tam giác vuông ACC′:
tan\(\widehat {CAC'}\) = \(\frac{{CC'}}{{AC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Câu 2
Hình hộp đứng.
Hình hộp chữ nhật.
Hình lập phương.
Hình lăng trụ đều.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Theo định nghĩa, hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.
Vì hình lăng trụ đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình chữ nhật nên hình lăng trụ đứng đã cho là hình hộp chữ nhật.
Câu 3
a. Đường thẳng OO' vuông góc với hai mặt phẳng đáy.
b. Các mặt bên của hình chóp cụt đều đã cho là các hình thang cân bằng nhau.
c. Đoạn thẳng OO' có độ dài lớn hơn các cạnh bên AA', BB', CC'.
d. Đoạn thẳng OO' vuông góc với mặt phẳng (ABB'A').
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Hình lăng trụ đứng có đáy là một tam giác bất kì luôn là hình lăng trụ đều.
Hình hộp đứng có đáy là hình thoi luôn là hình lập phương.
Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có tất cả các cạnh bằng nhau.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập