Một khối gỗ dạng hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy 8 cm, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc α với tan α = \(\sqrt 2 \). Người thợ cắt khối chóp bởi một mặt phẳng song song với đáy và qua trung điểm một cạnh bên để được một hình chóp S.A'B'C'D' và một hình chóp cụt đều ABCD.A'B'C'D'. Tính chiều cao h (theo đơn vị centimet) của hình chóp cụt ABCD.A'B'C'D'.

Đáp án:

Đáp án: 69,3

(B'AC) ∩ (ABC) = AC

Gọi I là trung điểm của AC

Vì tam giác ABC vuông cân tại B nên đường trung tuyến BI đồng thời là đường cao

⇒ BI ⊥ AC

Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng nên B'B ⊥ (ABC)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BI\\AC \bot B'B\end{array} \right.\) ⇒ AC ⊥ (B'BI) ⇒ AC ⊥ B'I

Do BI ⊂ (ABC), B'I ⊂ (B'AC) và cả hai đường thẳng này cùng vuông góc với giao tuyến AC tại I, nên góc phẳng nhị diện [B', AC, B] chính là góc giữa hai tia IB' và IB, tức là góc \(\widehat {B'IB}\)

Tam giác ABC vuông cân tại B có cạnh huyền AC = 2a

BI = \(\frac{{AC}}{2} = \frac{{2a}}{2}\) = a

Vì △ABC vuông cân tại B nên độ dài các cạnh góc vuông là: AB = BC = \(\frac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{2a}}{{\sqrt 2 }} = a\sqrt 2 \)

Vì AA' ⊥ (ABC) ⇒ tam giác A'AB vuông tại A.

Xét tam giác A'AB vuông tại A, theo định lý Pytago:

BB' = AA' = \(\sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} \) = \(\sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} \) = \(a\sqrt 7 \)

Xét tam giác B'BI vuông tại B (vì B'B ⊥ BI), ta có:

tan\(\widehat {B'IB}\) = \(\frac{{B'B}}{{BI}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{a} = \sqrt 7 \) ⇒ \(\widehat {B'IB}\) ≈ 69,3°.

Vậy góc phẳng nhị diện [B', AC, B] có số đo xấp xỉ bằng 69,3°.

Đáp án: a) Đúng.b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O′ là giao điểm của A′C′ và B′D′

Ta có: OO′ ∥ AA′ ∥ CC′ ∥ DD′ (do ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương)

Khi đó: (ACC′A′) ∩ (BDD′B′) = OO′ (1)

Trong hình vuông ABCD, AC ⊥ BD (2)

Vì OO′ ⊥ (ABCD) ⇒ AC ⊥ OO′ (3)

⇒ Từ (1), (2), (3) ⇒ AC ⊥ (BDD′B′). Mà AC ⊂ (ACC′A′)

⇒ (ACC′A′) ⊥ (BDD′B′)

b) Sai. Vì ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ BD = \(a\sqrt 2 \)

Xét tam giác vuông A′AB vuông tại A:

A′B= \(\sqrt {A{{A'}^2} + A{B^2}} \) = \(a\sqrt 2 \) (định lý Pytago)

Do đó: A′B = A′D = BD = \(a\sqrt 2 \) ⇒ tam giác A′BD là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \)

Diện tích tam giác đều là: S_A′BD = \(\frac{{\sqrt 3 }}{4}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2}\) = \(\frac{{\sqrt 3 }}{4} \cdot \) 2a² = \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}\) ≠ \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).

c) Đúng. Trong hình vuông ABCD, BD ⊥ AC (1)

Lại có: AA′ ⊥ (ABCD) ⇒ AA′ ⊥ BD (2)

Vì AC và AA′ cắt nhau và cùng thuộc mặt phẳng (ACC′A′) (3)

Từ (1), (2), (3) ⇒ BD ⊥ (ACC′A′).

d) Đúng. Hình chiếu vuông góc của C′ lên mặt phẳng (ABCD) là C

⇒ Hình chiếu của đường thẳng AC′ lên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng AC

Do đó góc giữa AC′ và (ABCD) là góc \(\widehat {CAC'}\)

Xét tam giác vuông ACC′:

tan\(\widehat {CAC'}\) = \(\frac{{CC'}}{{AC}} = \frac{a}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).