Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a, M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ACM).
\(\frac{{3a}}{2}\);
a;
\(\frac{{2a}}{3}\);
\(\frac{a}{3}\).
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Khoảng cách lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: C
Gọi O là giao điểm của AC, BD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.
Vì O, M lần lượt là trung điểm của BD, SD nên OM là đường trung bình của ∆SBD.
Suy ra OM // SB ⇒ SB // (AMC) (1).
Qua B, kẻ Bx // AC và qua A kẻ AE vuông góc với Bx tại E. Suy ra BE // (AMC) (2).
Từ (1) và (2), suy ra (SBE) // (AMC).
Kẻ AH ⊥ SE (3).
Vì AE ⊥ EB mà SA ⊥ EB (do SA ⊥ (ABCD)) ⇒ EB ⊥ (SAE) ⇒ EB ⊥ AH (4).
Từ (3), (4) ⇒ AH ⊥ (SEB).
Ta có d(SB, (ACM)) = d((SBE), (ACM)) = d(A, (SBE)) = AH.
Xét ∆ABD vuông tại A, có \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Ta có \(AE = BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét ∆SAE vuông tại A, có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{2a}}{3}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
Vào phòng luyện đề →Luyện đề →CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Gọi H là trung điểm BC. Khi đó: AH = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
b. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) bằng a.
c. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ là 2a.
d. Tích khoảng cách từ AA′ đến mặt bên (BCC′B′) và khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ là \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Sai.d) Đúng.
a) Đúng. Vì tam giác ABC đều, H là trung điểm nên AH = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
b) Sai. d((ABC), (A′B′C′)) = A′H = \(\sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\).
c) Sai. d((ABC), (A′B′C′)) = A′H = \(\sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\).
d) Đúng.
Hình chiếu vuông góc của A’ xuống (ABC) là H, nên: A’H ⊥ (ABC).
Vì ABC đều cạnh a: AH = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Trong tam giác vuông AA’H:
\(AH' = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2}.\)
Do đó: d((ABC), (A’B’C’)) = \(\frac{a}{2}\).
Do ∆ABC đều nên AH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (A′HA)
Dựng HK ⊥ AA′ thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{HK \bot BB'}\\{HK \bot BC}\end{array}} \right.\)⇒ HK ⊥ (BCC′B′)
Có AA’ ∥ (BCC’B’)
Do đó d(AA′, (BCC′B′)) = d(K, (BCC′B′)) = KH.
Lại có: HK = \(\frac{{AH \cdot A'H}}{{A'A}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)
Do đó d(AA′, (BCC′B′)) = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy .
Câu 2
\(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\);
\(\frac{{a\sqrt 6 }}{4}\);
\(\frac{{2a\sqrt 6 }}{9}\);
\(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Gọi O là tâm hình vuông ABCD.
Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ CD.
Kẻ OI ⊥ CD và OH ⊥ SI.
Vì SO ⊥ CD và OI ⊥ CD nên CD ⊥ (SOI) ⇒ CD ⊥ OH.
Lại có OH ⊥ SI nên OH ⊥ (SCD).
Do đó d(O, (SCD)) = OH.
Vì OI là đường trung bình ∆ACD nên \(OI = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}\).
Vì ∆SCD đều cạnh a nên \(SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét ∆SOI vuông tại O, có \(SO = \sqrt {S{I^2} - I{O^2}} = \sqrt {\frac{3}{4}{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\),
\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{6}{{{a^2}}}\)\( \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Vì AB // CD nên AB // (SCD). Do đó d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).
Mà \(\frac{{d\left( {A,(SCD)} \right)}}{{d\left( {O,(SCD)} \right)}} = \frac{{CA}}{{CO}} = 2 \Rightarrow d\left( {A,(SCD)} \right) = 2d\left( {O,(SCD)} \right)\).
Do đó \(d\left( {A,(SCD)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Câu 3
\(\frac{{3a\sqrt 3 }}{4}\).
\(a\sqrt 3 \).
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(a\sqrt 2 \).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
\(\frac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\);
\(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\);
\(a\sqrt 2 \);
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Độ dài đoạn vuông góc nối một điểm bất kì thuộc d với một điểm bất kì thuộc (P).
Khoảng cách từ một điểm bất kì trên d đến mặt phẳng (P).
Khoảng cách từ trung điểm của một đoạn thẳng thuộc d đến (P).
Độ dài đoạn thẳng nối một điểm bất kì thuộc d đến một điểm bất kì thuộc (P).
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập