Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Hình chiếu vuông góc của A′ trên (ABC) trùng với trung điểm của BC.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a. Gọi H là trung điểm BC. Khi đó: AH = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
b. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) bằng a.
c. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ là 2a.
d. Tích khoảng cách từ AA′ đến mặt bên (BCC′B′) và khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ là \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Khoảng cách lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Sai.d) Đúng.
a) Đúng. Vì tam giác ABC đều, H là trung điểm nên AH = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
b) Sai. d((ABC), (A′B′C′)) = A′H = \(\sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\).
c) Sai. d((ABC), (A′B′C′)) = A′H = \(\sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\).
d) Đúng.
Hình chiếu vuông góc của A’ xuống (ABC) là H, nên: A’H ⊥ (ABC).
Vì ABC đều cạnh a: AH = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Trong tam giác vuông AA’H:
\(AH' = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2}.\)
Do đó: d((ABC), (A’B’C’)) = \(\frac{a}{2}\).
Do ∆ABC đều nên AH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (A′HA)
Dựng HK ⊥ AA′ thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{HK \bot BB'}\\{HK \bot BC}\end{array}} \right.\)⇒ HK ⊥ (BCC′B′)
Có AA’ ∥ (BCC’B’)
Do đó d(AA′, (BCC′B′)) = d(K, (BCC′B′)) = KH.
Lại có: HK = \(\frac{{AH \cdot A'H}}{{A'A}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)
Do đó d(AA′, (BCC′B′)) = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy .
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
\(a\sqrt 3 \);
\(a\sqrt 2 \);
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\);
\(\frac{a}{3}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Vì (ACB') // (DA'C') nên ta có: d((ACB'), (DA'C')) = d(D, (ACB')) = d(B, (ACB')).
Vì BA = BC = BB' = a và AB' = B'C = AC = \(a\sqrt 2 \) nên hình chóp B. ACB' là hình chóp đều.
Gọi I là trung điểm AC, G là trọng tâm tam giác ACB'.
Khi đó d(B, (ACB')) = BG.
Vì tam giác ACB' đều nên \(B'I = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
Theo tính chất trọng tâm ta có: \(B'G = \frac{2}{3}B'I = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
Trong tam giác vuông BGB' có:\(BG = \sqrt {BB{'^2} - B'{G^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{6{a^2}}}{9}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 1,5
Vì N, P tương ứng là trung điểm của SB, SC nên ta có:
NP là đường trung bình của tam giác SBC
Suy ra NP ∥ BC
Vì BC ⊂ (ABC) nên NP ∥ (ABC).
Vì M, N tương ứng là trung điểm của SA, SB nên ta có:
MN là đường trung bình của tam giác SAB
Suy ra MN ∥ AB
Mà AB ⊂ (ABC) nên MN ∥ (ABC).
Do đó: d(NP, (ABC)) = d(N, (ABC)) = d(M, (ABC)) = \(\frac{{SA}}{2} = \frac{3}{2} = 1,5\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
\(\frac{{3a}}{2}\);
a;
\(\frac{{2a}}{3}\);
\(\frac{a}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a;
\(a\sqrt 2 \);
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\);
\(\frac{{2a}}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
\(\frac{{6\sqrt 3 }}{5}\);
\(\frac{{12\sqrt 3 }}{5}\);
\(\frac{{4\sqrt 3 }}{5}\);
\(\frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập