Cho hình hộp đứng ABCD.A′B′C′D′ có đáy là các hình thoi có cạnh bằng a, \(\widehat {BAD} = 120^\circ \), AA′ = h.
Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a. d(A′C′, (ABCD)) = d(A′, (ABCD)).
b. Khoảng cách giữa A′C′ và (ABCD) bằng \(\frac{h}{2}\).
c. d(AA′, (BDD′B′)) = AO.
d. Tỉ số khoảng cách giữa A′C′ và (ABCD) và khoảng cách giữa AA′ và (BDD′B′) là ah.
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Khoảng cách lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Đúng.d) Sai.
a) Đúng. A′C′ ⊂ (A′B′C′D′) nên A′C′ ∥ (ABCD)
Do ABCD. A′B′C′D′ là hình hộp đứng nên A′A ⊥ (ABCD)
Vậy d(A′C′, (ABCD)) = d(A′, (ABCD))
b) Sai. d(A′C′, (ABCD)) = d(A′, (ABCD)) = A′A = h.
c) Đúng. Do AA′ ∥ BB′ nên AA′ ∥ (BDD′B′)
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD. Do AO ⊥ BD và AO ⊥ BB′ nên AO ⊥ (BDD′B′)
Do đó d(AA′, (BDD′B′)) = AO.
d) Sai. Tam giác BAD cân tại A và \(\widehat {BAD} = 120^\circ \) nên \(\widehat {ABO} = 30^\circ \)
Trong tam giác vuông AOB, ta có: \(AO = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\)
Khi đó: d(AA′, (BDD′B′)) = \(\frac{a}{2}\)
Vậy \(\frac{{d\left( {A'C',\left( {ABCD} \right)} \right)}}{{d\left( {AA',\left( {BDD'B'} \right)} \right)}} = \frac{h}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{2h}}{a}\).
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Gọi H là trung điểm BC. Khi đó: AH = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
b. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’B’C’) bằng a.
c. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ là 2a.
d. Tích khoảng cách từ AA′ đến mặt bên (BCC′B′) và khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ là \(\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{8}\).
Lời giải
Đáp án: a) Đúng.b) Sai.c) Sai.d) Đúng.
a) Đúng. Vì tam giác ABC đều, H là trung điểm nên AH = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
b) Sai. d((ABC), (A′B′C′)) = A′H = \(\sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\).
c) Sai. d((ABC), (A′B′C′)) = A′H = \(\sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{a}{2}\).
d) Đúng.
Hình chiếu vuông góc của A’ xuống (ABC) là H, nên: A’H ⊥ (ABC).
Vì ABC đều cạnh a: AH = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Trong tam giác vuông AA’H:
\(AH' = \sqrt {A{{A'}^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2}.\)
Do đó: d((ABC), (A’B’C’)) = \(\frac{a}{2}\).
Do ∆ABC đều nên AH ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (A′HA)
Dựng HK ⊥ AA′ thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{HK \bot BB'}\\{HK \bot BC}\end{array}} \right.\)⇒ HK ⊥ (BCC′B′)
Có AA’ ∥ (BCC’B’)
Do đó d(AA′, (BCC′B′)) = d(K, (BCC′B′)) = KH.
Lại có: HK = \(\frac{{AH \cdot A'H}}{{A'A}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)
Do đó d(AA′, (BCC′B′)) = \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy .
Câu 2
\(\frac{{3a}}{2}\);
a;
\(\frac{{2a}}{3}\);
\(\frac{a}{3}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Gọi O là giao điểm của AC, BD. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.
Vì O, M lần lượt là trung điểm của BD, SD nên OM là đường trung bình của ∆SBD.
Suy ra OM // SB ⇒ SB // (AMC) (1).
Qua B, kẻ Bx // AC và qua A kẻ AE vuông góc với Bx tại E. Suy ra BE // (AMC) (2).
Từ (1) và (2), suy ra (SBE) // (AMC).
Kẻ AH ⊥ SE (3).
Vì AE ⊥ EB mà SA ⊥ EB (do SA ⊥ (ABCD)) ⇒ EB ⊥ (SAE) ⇒ EB ⊥ AH (4).
Từ (3), (4) ⇒ AH ⊥ (SEB).
Ta có d(SB, (ACM)) = d((SBE), (ACM)) = d(A, (SBE)) = AH.
Xét ∆ABD vuông tại A, có \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Ta có \(AE = BO = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Xét ∆SAE vuông tại A, có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{2}{{{a^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}}\)\( \Rightarrow AH = \frac{{2a}}{3}\).
Câu 3
\(\frac{{3a\sqrt 3 }}{4}\).
\(a\sqrt 3 \).
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(a\sqrt 2 \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
Độ dài đoạn vuông góc nối một điểm bất kì thuộc d với một điểm bất kì thuộc (P).
Khoảng cách từ một điểm bất kì trên d đến mặt phẳng (P).
Khoảng cách từ trung điểm của một đoạn thẳng thuộc d đến (P).
Độ dài đoạn thẳng nối một điểm bất kì thuộc d đến một điểm bất kì thuộc (P).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
a. IJ\(\parallel \)AD.
b. IJ\(\parallel \)(SAD).
c. Khoảng cách giữa đường thẳng IJ và mặt phẳng (SAD) bằng \(\frac{a}{2}\).
d. Khoảng cách từ điểm I đến (SAD) bằng a.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập