Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BD.

Đáp án:

Đáp án: 1

Chọn mặt phẳng (AA′B′A) chứa AB′ và song song với CC′

Khi đó d(AB′, CC′) = d(CC′, (AA′B′A)) = d(C, (AA′B′A)).

Gọi I là trung điểm của AB. Vì tam giác ABC đều nên CI ⊥ AB suy ra GI ⊥ AB

Vì \[\left\{ \begin{array}{l}A'G \bot AB\\GI \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {A'GI} \right) \Rightarrow AB \bot A'I\]

\(GI = \frac{1}{3}CI = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\)

Vì diện tích tam giác A′AB bằng \(\frac{1}{2}\) nên \(\frac{1}{2}A'I.AB = \frac{1}{2} \Leftrightarrow A'I = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Suy ra \(A'G = \sqrt {A'{I^2} - G{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Trong mặt phẳng (A′GI) kẻ GH ⊥ A′I (H ∈ A′I)

Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}GH \bot A'I\\GH \bot AB\,\,\,\,\left( {AB \bot \left( {A'GI} \right)} \right)\end{array} \right.\) suy ra \(GH \bot \left( {AA'B'B} \right) \Rightarrow d\left( {G,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right) = GH\)

Xét tam giác A′GI vuông tại G có:

\(GH.A'I = A'G.GI\) suy ra \( \Rightarrow d\left( {G,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right) = GH = \frac{{A'G.GI}}{{A'I}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{6}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{1}{3}\)

Ta lại có \(\frac{{d\left( {C,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right)}}{{d\left( {G,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right)}} = \frac{{CI}}{{GI}} = 3\)

\( \Rightarrow d\left( {C,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right) = 3.d\left( {G,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right) = 1\)

Vậy d(AB′, CC′) = 1.

Đáp án:

Đáp án: 1

Gọi H là trung điểm của AD.

Vì ABCD là hình thang vuông nên BC = HD, và BC ∥ HD

Suy ra BCDH là hình bình hành

Suy ra CD ∥ BH

Mà BH \( \subset \) (SBH) nên CD ∥ (SBH)

Do đó \(d\left( {CD,SB} \right) = d\left( {CD,\left( {SHB} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {SHB} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SHB} \right)} \right)\).

Có: \(AH = \frac{{AD}}{2} = \sqrt 3 \)

Ta có: \(\frac{1}{{{d^2}\left( {A,\left( {SHB} \right)} \right)}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = 1\)

Vậy khoảng cách giữa SB và CD là 1.