Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là trung điểm CI. Biết chiều cao khối chóp đó là \(h = a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và SC.
\(\frac{{2a\sqrt {51} }}{{17}}\).
\(\frac{{a\sqrt {51} }}{{17}}\).
\(\frac{{a\sqrt {51} }}{7}\).
\(2a\sqrt {51} \).
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Khoảng cách lớp 11 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án đúng là: A
Gọi H là trung điểm của CI, khi đó SH ⊥ (ABC) ⇒ SH ⊥ AB.
Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CI \bot AB}\\{SH \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot (SIC)\].
Dựng IF ⊥ SC (1)
Khi đó, IF ⊂ (SIC)
Suy ra IF ⊥ AB (2)
Do đó, IF là đoạn vuông góc chung của AB và SC.
Dựng HE ⊥ SC
Suy ra HE ∥ IF
Vì H là trung điểm IC và HE ∥ IF nên E là trung điểm của FC.
Hay HE là đường trung bình của tam giác CIF
Do đó, HE = \(\frac{1}{2}IF\)
Xét tam giác ABC có:
\(CI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow CH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Xét tam giác SHC có HE ⊥ SC:
\[\begin{array}{l}HE = \frac{{SH \cdot HC}}{{\sqrt {S{H^2} + C{H^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt {51} }}{{17}}\\ \Rightarrow IF = \frac{{2a\sqrt {51} }}{{17}}\end{array}\]
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 1
Chọn mặt phẳng (AA′B′A) chứa AB′ và song song với CC′
Khi đó d(AB′, CC′) = d(CC′, (AA′B′A)) = d(C, (AA′B′A)).
Gọi I là trung điểm của AB. Vì tam giác ABC đều nên CI ⊥ AB suy ra GI ⊥ AB
Vì \[\left\{ \begin{array}{l}A'G \bot AB\\GI \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {A'GI} \right) \Rightarrow AB \bot A'I\]
\(GI = \frac{1}{3}CI = \frac{{\sqrt 6 }}{6}\)
Vì diện tích tam giác A′AB bằng \(\frac{1}{2}\) nên \(\frac{1}{2}A'I.AB = \frac{1}{2} \Leftrightarrow A'I = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Suy ra \(A'G = \sqrt {A'{I^2} - G{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Trong mặt phẳng (A′GI) kẻ GH ⊥ A′I (H ∈ A′I)
Khi đó: \(\left\{ \begin{array}{l}GH \bot A'I\\GH \bot AB\,\,\,\,\left( {AB \bot \left( {A'GI} \right)} \right)\end{array} \right.\) suy ra \(GH \bot \left( {AA'B'B} \right) \Rightarrow d\left( {G,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right) = GH\)
Xét tam giác A′GI vuông tại G có:
\(GH.A'I = A'G.GI\) suy ra \( \Rightarrow d\left( {G,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right) = GH = \frac{{A'G.GI}}{{A'I}} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}.\frac{{\sqrt 6 }}{6}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{1}{3}\)
Ta lại có \(\frac{{d\left( {C,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right)}}{{d\left( {G,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right)}} = \frac{{CI}}{{GI}} = 3\)
\( \Rightarrow d\left( {C,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right) = 3.d\left( {G,\,\left( {AA'B'B} \right)} \right) = 1\)
Vậy d(AB′, CC′) = 1.
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 7,07
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot AB}\\{BC \bot SA}\end{array}\, \Rightarrow BC\, \bot \left( {SAB} \right)\, \Rightarrow BC\, \bot HB} \right.\)
Mà AH ⊥ HB suy ra HB là đoạn vuông góc chung của AH và BC
Suy ra, d(AH, BC) = HB.
Xét tam giác SAB vuông cân tại A, có SA = AB = 10, AH ⊥ SB
\(SB = \sqrt {{{10}^2} + {{10}^2}} = 10\sqrt 2 \).
Suy ra, \(HB = \frac{1}{2}SB = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt 2 = 5\sqrt 2 \approx 7,07\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
\(\frac{a}{2}\);
\(\frac{a}{3}\);
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\);
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\);
\(\frac{{2\sqrt 2 }}{5}\);
\(\frac{{3\sqrt 5 }}{7}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
Đoạn vuông góc chung của AC và SD là AK;
Đoạn vuông góc chung của AC và SD là CD;
Đoạn vuông góc chung của AC và SD là OH;
Các khẳng định trên đều sai.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập