(2,0 điểm)

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\). Tìm toạ độ điểm \(C\) trên đồ thị có hoành độ bằng \(\sqrt 5 \) và tính độ dài đoạn \(OC\), với \(O\) là gốc toạ độ và đơn vị trên các trục toạ độ là centimet.

b) Cho phương trình \({x^2} + 5x - 4 = 0\). Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) trái dấu và tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\).

a) Vì \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\) nên 3 điểm \(B,\,\,F,\,\,C\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC.\)

Lại có \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) nên 3 điểm \(B,\,\,E,\,\,C\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC.\)

Suy ra bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có: \(\widehat {NBC} + \widehat {BNC} = 90^\circ \) mà \(\widehat {BNC} = \widehat {BAC}\) (cùng chắn ) nên \(\widehat {NBC} + \widehat {BAC} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {ABE} + \widehat {BAC} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\).

Ta có: \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\) mà \(\widehat {NMC} = \widehat {NBC}\) (cùng chắn ) suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {NMC}\) (1)

Ta có: \(\widehat {MNC} = \widehat {MAC}\) (cùng chắn )

Mà 

Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {BAH}\).

Do đó \(\widehat {MNC} = \widehat {BAH}\) (2)

Từ (1), (2) suy ra $\Delta MNC\backsim \Delta BAH$ (g.g) suy ra \(\frac{{NC}}{{AH}} = \frac{{CM}}{{BH}}\) nên \(AH \cdot CM = BH \cdot CN\).

c) Ta có \[GE = AE \cdot \sin \widehat {GEA} = \sin \widehat {KBD} \cdot AB \cdot \sin \widehat {BAD}.\]

Ta có \[KD = BD \cdot \sin \widehat {KBD} = AB \cdot \sin \widehat {BAD} \cdot \sin \widehat {KBD}\].

Vậy \[GE = KD.\]

a) Gọi \[x\] là tuổi của em. (Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}\)).

Suy ra tuổi của chị là: \[x + 6\] (tuổi)

Sau 7 năm thì tuổi của em là: \[x + 7\] (tuổi), còn tuổi của chị là \[x + 13\] (tuổi).

Theo đề bài ta có phương trình: \(x + 7 + x + 13 = 32\) suy ra \(x = 6\) (TMĐK).

Vậy hiện nay tuổi của em là 6 tuổi, tuổi của chị là 12.

b) Gọi \[x\] là số bộ đồng phục mỗi ngày cơ sở may được theo kế hoạch. (Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}).\)

Suy ra: \(\frac{{480}}{x}\) (ngày) là thời gian hoàn thành theo kế hoạch.

Theo thực tế, thời gian may 120 bộ đồng phục là: \(\frac{{120}}{x}\) (ngày)

Sau đó đã cải tiến máy móc nên thời gian may 360 bộ đồng phục còn lại là: \(\frac{{360}}{{x + 10}}\) (ngày).

Theo đề bài ta có phương trình: \(\frac{{480}}{x} = \frac{{120}}{x} + \frac{{360}}{{x + 10}} + 3\)

\(\frac{{360}}{x} - \frac{{360}}{{x + 10}} - 3 = 0\)

\(360\left( {x + 10} \right) - 360x - 3x\left( {x + 10} \right) = 0\)

\(3{x^2} + 30x - 3600 = 0\)

\(x = 30\) (TMĐK) hoặc \(x =  - 40\) (loại)

Vậy số bộ đồng phục mỗi ngày cơ sở may được theo kế hoạch là 30 bộ.