(2,0 điểm) Cho tam giác nhọn \[ABC\,\,\left( {AB{\rm{ }} < {\rm{ }}AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\) có các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên một đường tròn.
b) Dựng các đường kính \(AM\) và \(BN\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Chứng minh rằng \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\) và \(AH \cdot CM = BH \cdot CN\).
c) Các đường thẳng \(EF\) và \(AO\) cắt nhau tại \(G\), các đường thẳng \(DF\) và \(BO\) cắt nhau tại \(K.\) Chứng minh rằng \(EG = DK\).
(2,0 điểm) Cho tam giác nhọn \[ABC\,\,\left( {AB{\rm{ }} < {\rm{ }}AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\) có các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên một đường tròn.
b) Dựng các đường kính \(AM\) và \(BN\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Chứng minh rằng \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\) và \(AH \cdot CM = BH \cdot CN\).
c) Các đường thẳng \(EF\) và \(AO\) cắt nhau tại \(G\), các đường thẳng \(DF\) và \(BO\) cắt nhau tại \(K.\) Chứng minh rằng \(EG = DK\).
Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Đà Nẵng !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Vậy \[GE = KD.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/09/image-k31l4dnuvtasp1t4dqbr-1788913197.png)
a) Vì \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\) nên 3 điểm \(B,\,\,F,\,\,C\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC.\)
Lại có \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) nên 3 điểm \(B,\,\,E,\,\,C\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC.\)
Suy ra bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên một đường tròn.
b) Ta có: \(\widehat {NBC} + \widehat {BNC} = 90^\circ \) mà \(\widehat {BNC} = \widehat {BAC}\) (cùng chắn ) nên \(\widehat {NBC} + \widehat {BAC} = 90^\circ \).
Mà \(\widehat {ABE} + \widehat {BAC} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\).
Ta có: \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\) mà \(\widehat {NMC} = \widehat {NBC}\) (cùng chắn ) suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {NMC}\) (1)
Ta có: \(\widehat {MNC} = \widehat {MAC}\) (cùng chắn )
Mà
Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {BAH}\).
Do đó \(\widehat {MNC} = \widehat {BAH}\) (2)
Từ (1), (2) suy ra (g.g) suy ra \(\frac{{NC}}{{AH}} = \frac{{CM}}{{BH}}\) nên \(AH \cdot CM = BH \cdot CN\).
c) Ta có \[GE = AE \cdot \sin \widehat {GEA} = \sin \widehat {KBD} \cdot AB \cdot \sin \widehat {BAD}.\]
Ta có \[KD = BD \cdot \sin \widehat {KBD} = AB \cdot \sin \widehat {BAD} \cdot \sin \widehat {KBD}\].
Vậy \[GE = KD.\]
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Gọi \[x\] là tuổi của em. (Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}\)).
Suy ra tuổi của chị là: \[x + 6\] (tuổi)
Sau 7 năm thì tuổi của em là: \[x + 7\] (tuổi), còn tuổi của chị là \[x + 13\] (tuổi).
Theo đề bài ta có phương trình: \(x + 7 + x + 13 = 32\) suy ra \(x = 6\) (TMĐK).
Vậy hiện nay tuổi của em là 6 tuổi, tuổi của chị là 12.
b) Gọi \[x\] là số bộ đồng phục mỗi ngày cơ sở may được theo kế hoạch. (Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}).\)
Suy ra: \(\frac{{480}}{x}\) (ngày) là thời gian hoàn thành theo kế hoạch.
Theo thực tế, thời gian may 120 bộ đồng phục là: \(\frac{{120}}{x}\) (ngày)
Sau đó đã cải tiến máy móc nên thời gian may 360 bộ đồng phục còn lại là: \(\frac{{360}}{{x + 10}}\) (ngày).
Theo đề bài ta có phương trình: \(\frac{{480}}{x} = \frac{{120}}{x} + \frac{{360}}{{x + 10}} + 3\)
\(\frac{{360}}{x} - \frac{{360}}{{x + 10}} - 3 = 0\)
\(360\left( {x + 10} \right) - 360x - 3x\left( {x + 10} \right) = 0\)
\(3{x^2} + 30x - 3600 = 0\)
\(x = 30\) (TMĐK) hoặc \(x = - 40\) (loại)
Vậy số bộ đồng phục mỗi ngày cơ sở may được theo kế hoạch là 30 bộ.
Lời giải
a) Không gian mẫu của phép thử là: \(\Omega = \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8\,;\,\,9\,;\,\,10} \right\}.\)
Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = 10\).
b) Vì hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau và rút ngẫu nhiên 1 tấm thẻ nên các kết quả có thể xảy ra đồng khả năng với nhau.
Đếm các trường hợp thuận lợi cho biến cố E:
TH1: Rút được tấm thẻ ghi số 1. Tổng tất cả các số từ 9 tấm thẻ còn lại là: 54 (chia hết cho 3).
TH2: Rút được tấm thẻ ghi số 4. Tổng tất cả các số từ 9 tấm thẻ còn lại là: 51 (chia hết cho 3).
TH3: Rút được tấm thẻ ghi số 7. Tổng tất cả các số từ 9 tấm thẻ còn lại là: 48 (chia hết cho 3).
TH4: Rút được tấm thẻ ghi số 10. Tổng tất cả các số từ 9 tấm thẻ còn lại là: 45 (chia hết cho 3).
Suy ra \(n\left( E \right) = 4\), do đó \(P\left( E \right) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập