(2,0 điểm) Cho tam giác nhọn \[ABC\,\,\left( {AB{\rm{ }} < {\rm{ }}AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\) có các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên một đường tròn.
b) Dựng các đường kính \(AM\) và \(BN\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Chứng minh rằng \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\) và \(AH \cdot CM = BH \cdot CN\).
c) Các đường thẳng \(EF\) và \(AO\) cắt nhau tại \(G\), các đường thẳng \(DF\) và \(BO\) cắt nhau tại \(K.\) Chứng minh rằng \(EG = DK\).
(2,0 điểm) Cho tam giác nhọn \[ABC\,\,\left( {AB{\rm{ }} < {\rm{ }}AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\) có các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh rằng bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên một đường tròn.
b) Dựng các đường kính \(AM\) và \(BN\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Chứng minh rằng \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\) và \(AH \cdot CM = BH \cdot CN\).
c) Các đường thẳng \(EF\) và \(AO\) cắt nhau tại \(G\), các đường thẳng \(DF\) và \(BO\) cắt nhau tại \(K.\) Chứng minh rằng \(EG = DK\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
![Vậy \[GE = KD.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/09/image-k31l4dnuvtasp1t4dqbr-1788913197.png)
a) Vì \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\) nên 3 điểm \(B,\,\,F,\,\,C\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC.\)
Lại có \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) nên 3 điểm \(B,\,\,E,\,\,C\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC.\)
Suy ra bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên một đường tròn.
b) Ta có: \(\widehat {NBC} + \widehat {BNC} = 90^\circ \) mà \(\widehat {BNC} = \widehat {BAC}\) (cùng chắn ) nên \(\widehat {NBC} + \widehat {BAC} = 90^\circ \).
Mà \(\widehat {ABE} + \widehat {BAC} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\).
Ta có: \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\) mà \(\widehat {NMC} = \widehat {NBC}\) (cùng chắn ) suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {NMC}\) (1)
Ta có: \(\widehat {MNC} = \widehat {MAC}\) (cùng chắn )
Mà
Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {BAH}\).
Do đó \(\widehat {MNC} = \widehat {BAH}\) (2)
Từ (1), (2) suy ra (g.g) suy ra \(\frac{{NC}}{{AH}} = \frac{{CM}}{{BH}}\) nên \(AH \cdot CM = BH \cdot CN\).
c) Ta có \[GE = AE \cdot \sin \widehat {GEA} = \sin \widehat {KBD} \cdot AB \cdot \sin \widehat {BAD}.\]
Ta có \[KD = BD \cdot \sin \widehat {KBD} = AB \cdot \sin \widehat {BAD} \cdot \sin \widehat {KBD}\].
Vậy \[GE = KD.\]
Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) \(A = \sqrt 9 - \sqrt {50} + 5\sqrt 2 + 3 = 3 - 5\sqrt 2 + 5\sqrt 2 + 3 = 6\)
b) Trong biểu đồ bên có 12 địa phương.
Tổng doanh thu của tất cả các địa phương là:
\[8700 + 5727 + 5000 + 4330 + 4216 + 4165 + 2638 + 2217 + 2191 + 2188 + 1350 + 1120 = 43\,\,842\] (tỉ đồng).
c) Với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\) ta được:
\(B = \frac{3}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{x - 7\sqrt x - 6}}{{x - 4}}\)
\( = \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{x - 7\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{3\sqrt x - 6 + x + 4\sqrt x + 4 + x - 7\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{2x - 8}}{{x - 4}} = \frac{{2\left( {x - 4} \right)}}{{x - 4}}\)\( = 2\).
Lời giải
a) Bảng giá trị của hàm số là:
|
\(x\) |
\( - 2\) |
\( - 1\) |
0 |
1 |
2 |
|
\(y\) |
4 |
1 |
0 |
1 |
4 |
Biểu diễn trên hệ trục tọa độ
Ta có tọa độ điểm \(C\) có dạng là: \(C\left( {\sqrt 5 \,;\,\,{y_C}} \right)\).
Vì \(C\) thuộc đồ thị của hàm số nên ta được: \({y_C} = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = 5\) do đó \(C\left( {\sqrt 5 \,;\,\,5} \right)\).
Độ dài \(OC = \sqrt {{{\left( {{x_C} - 0} \right)}^2} + {{\left( {{y_C} - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} + {5^2}} = \sqrt {30} \).
b) Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 5}\\{{x_1}{x_2} = - 4}\end{array}} \right.\).
Nhận thấy \({x_1}{x_2} = - 4 < 0\) suy ra phương trình có 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) trái dấu.
Ta có: \(P = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} = \frac{{x_1^2 + x_2^2}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{{{\left( { - 5} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - 4} \right)}}{{ - 4}} = \frac{{ - 33}}{4}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập