(2,0 điểm) Cho tam giác nhọn \[ABC\,\,\left( {AB{\rm{ }} < {\rm{ }}AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\) có các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh rằng bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Dựng các đường kính \(AM\) và \(BN\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Chứng minh rằng \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\) và \(AH \cdot CM = BH \cdot CN\).

c) Các đường thẳng \(EF\) và \(AO\) cắt nhau tại \(G\), các đường thẳng \(DF\) và \(BO\) cắt nhau tại \(K.\) Chứng minh rằng \(EG = DK\).

a) Gọi \[x\] là tuổi của em. (Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}\)).

Suy ra tuổi của chị là: \[x + 6\] (tuổi)

Sau 7 năm thì tuổi của em là: \[x + 7\] (tuổi), còn tuổi của chị là \[x + 13\] (tuổi).

Theo đề bài ta có phương trình: \(x + 7 + x + 13 = 32\) suy ra \(x = 6\) (TMĐK).

Vậy hiện nay tuổi của em là 6 tuổi, tuổi của chị là 12.

b) Gọi \[x\] là số bộ đồng phục mỗi ngày cơ sở may được theo kế hoạch. (Điều kiện: \(x \in {\mathbb{N}^*}).\)

Suy ra: \(\frac{{480}}{x}\) (ngày) là thời gian hoàn thành theo kế hoạch.

Theo thực tế, thời gian may 120 bộ đồng phục là: \(\frac{{120}}{x}\) (ngày)

Sau đó đã cải tiến máy móc nên thời gian may 360 bộ đồng phục còn lại là: \(\frac{{360}}{{x + 10}}\) (ngày).

Theo đề bài ta có phương trình: \(\frac{{480}}{x} = \frac{{120}}{x} + \frac{{360}}{{x + 10}} + 3\)

\(\frac{{360}}{x} - \frac{{360}}{{x + 10}} - 3 = 0\)

\(360\left( {x + 10} \right) - 360x - 3x\left( {x + 10} \right) = 0\)

\(3{x^2} + 30x - 3600 = 0\)

\(x = 30\) (TMĐK) hoặc \(x =  - 40\) (loại)

Vậy số bộ đồng phục mỗi ngày cơ sở may được theo kế hoạch là 30 bộ.

a) Vì \[Ax\,{\rm{//}}\,BC\] (đều có phương nằm ngang với mặt đất) suy ra \(\widehat {xAC} + \widehat {BAC} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BAC} = 30^\circ \).

Khoảng cách từ ô tô đến vị trí \(B\) của toà nhà là:

\(BC = AB \cdot \tan \widehat {BAC} = 35 \cdot \tan 30^\circ  = \frac{{35\sqrt 3 }}{3} \approx 20,2\,\,({\rm{m)}}\)

Vậy khoảng cách từ ô tô đến vị trí \(B\) của toà nhà khoảng \(20,2\,\,{\rm{m}}.\)

b) Diện tích bãi cỏ nói trên là: \[S = \frac{{\pi  \cdot {R^2} \cdot n^\circ }}{{360}} = \frac{{3,14 \cdot {{20}^2} \cdot 135}}{{360}} \approx 471\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\].

c) Ta có thể tích hình trụ đường kính đáy ngoài 1m, cao 2m là:

\({V_{{\rm{ngo\`a i}}}} = \pi R_{{\rm{ngo\`a i}}}^2h = 3,14 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} \cdot 2 \approx 1,57\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\)

Đường kính của đáy hình trụ bên trong là: \({R_{{\rm{trong}}}} = 1 - 2 \cdot 0,1 = 0,8\,\,({\rm{m)}}\)

Ta có thể tích hình trụ đường kính đáy trong 0,8m, cao 2m là:

\({V_{{\rm{trong}}}} = \pi R_{{\rm{trong}}}^2h = 3,14 \cdot {\left( {\frac{{0,8}}{2}} \right)^2} \cdot 2 \approx 1,0048\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Suy ra thể tích bê tông cần dùng để sản xuất ống cống trên là:

\({V_{{\rm{betong}}}} = {V_{{\rm{ngo\`a i}}}} - {V_{{\rm{trong}}}} = 1,57 - 1,0048 \approx 0,57\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Vậy thể tích bê tông cần dùng để sản xuất ống cống trên khoảng \[0,57\,\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}.\].