(1,0 điểm) Một hộp có 10 tấm thẻ cùng loại, trên mỗi thẻ có ghi một trong các số tự nhiên từ 1 đến 10; hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Xét phép thử: “Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp”.

a) Mô tả không gian mẫu của phép thử. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

b) Tính xác suất của biến cố \(E\): “Rút được tấm thẻ mà tổng tất cả các số từ 9 tấm thẻ còn lại trong hộp chia hết cho 3”.

(Nguồn: Thông tấn xã Việt Nam)

Hỏi, trong biểu đồ bên có bao nhiêu địa phương? Tính tổng doanh thu của tất cả các địa phương đó theo đơn vị tỉ đồng.

c) Rút gọn biểu thức \(B = \frac{3}{{\sqrt x  + 2}} + \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 2}} + \frac{{x - 7\sqrt x  - 6}}{{x - 4}}\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4\).

(2,0 điểm)

a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\). Tìm toạ độ điểm \(C\) trên đồ thị có hoành độ bằng \(\sqrt 5 \) và tính độ dài đoạn \(OC\), với \(O\) là gốc toạ độ và đơn vị trên các trục toạ độ là centimet.

b) Cho phương trình \({x^2} + 5x - 4 = 0\). Chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) trái dấu và tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}\).

(2,0 điểm) Cho tam giác nhọn \[ABC\,\,\left( {AB{\rm{ }} < {\rm{ }}AC} \right)\] nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\) có các đường cao \(AD,\,\,BE,\,\,CF\) cắt nhau tại \(H\).

a) Chứng minh rằng bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Dựng các đường kính \(AM\) và \(BN\) của đường tròn \(\left( O \right).\) Chứng minh rằng \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\) và \(AH \cdot CM = BH \cdot CN\).

c) Các đường thẳng \(EF\) và \(AO\) cắt nhau tại \(G\), các đường thẳng \(DF\) và \(BO\) cắt nhau tại \(K.\) Chứng minh rằng \(EG = DK\).

b) Một bãi cỏ hình quạt tròn có bán kính \(R = 20\) m, ứng với góc ở tâm là 135° (tham khảo hình vẽ). Tính diện tích bãi cỏ nói trên theo đơn vị mét vuông (lấy \(\pi  \approx 3,14).\)

(2,0 điểm)

a) Chị hơn em 6 tuổi. Biết rằng bảy năm sau, tổng số tuổi của hai chị em là 32. Hỏi, hiện nay tuổi của mỗi người là bao nhiêu?

b) Một cơ sở may mặc nhận may 480 bộ đồng phục học sinh trong năm học 2026-2027. Theo kế hoạch, số lượng bộ đồng phục cơ sở may mỗi ngày là bằng nhau và dự kiến hoàn thành trong một số ngày quy định. Tuy nhiên, sau khi may được 120 bộ, cơ sở đã nâng cấp dây chuyền sản xuất nên năng suất mỗi ngày tăng thêm 10 bộ. Do đó, cơ sở đã hoàn thành công việc sớm hơn 3 ngày so với dự kiến. Hỏi, theo kế hoạch ban đầu, mỗi ngày cơ sở may được bao nhiêu bộ đồng phục?