(2,0 điểm)

a) Chị hơn em 6 tuổi. Biết rằng bảy năm sau, tổng số tuổi của hai chị em là 32. Hỏi, hiện nay tuổi của mỗi người là bao nhiêu?

b) Một cơ sở may mặc nhận may 480 bộ đồng phục học sinh trong năm học 2026-2027. Theo kế hoạch, số lượng bộ đồng phục cơ sở may mỗi ngày là bằng nhau và dự kiến hoàn thành trong một số ngày quy định. Tuy nhiên, sau khi may được 120 bộ, cơ sở đã nâng cấp dây chuyền sản xuất nên năng suất mỗi ngày tăng thêm 10 bộ. Do đó, cơ sở đã hoàn thành công việc sớm hơn 3 ngày so với dự kiến. Hỏi, theo kế hoạch ban đầu, mỗi ngày cơ sở may được bao nhiêu bộ đồng phục?

a) Vì \(\widehat {BFC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BFC\) vuông tại \(F\) nên 3 điểm \(B,\,\,F,\,\,C\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC.\)

Lại có \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) suy ra \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) nên 3 điểm \(B,\,\,E,\,\,C\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(BC.\)

Suy ra bốn điểm \(B,\,\,C,\,\,E,\,\,F\) cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có: \(\widehat {NBC} + \widehat {BNC} = 90^\circ \) mà \(\widehat {BNC} = \widehat {BAC}\) (cùng chắn ) nên \(\widehat {NBC} + \widehat {BAC} = 90^\circ \).

Mà \(\widehat {ABE} + \widehat {BAC} = 90^\circ \) suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\).

Ta có: \(\widehat {ABE} = \widehat {NBC}\) mà \(\widehat {NMC} = \widehat {NBC}\) (cùng chắn ) suy ra \(\widehat {ABE} = \widehat {NMC}\) (1)

Ta có: \(\widehat {MNC} = \widehat {MAC}\) (cùng chắn )

Mà 

Suy ra \(\widehat {MAC} = \widehat {BAH}\).

Do đó \(\widehat {MNC} = \widehat {BAH}\) (2)

Từ (1), (2) suy ra $\Delta MNC\backsim \Delta BAH$ (g.g) suy ra \(\frac{{NC}}{{AH}} = \frac{{CM}}{{BH}}\) nên \(AH \cdot CM = BH \cdot CN\).

c) Ta có \[GE = AE \cdot \sin \widehat {GEA} = \sin \widehat {KBD} \cdot AB \cdot \sin \widehat {BAD}.\]

Ta có \[KD = BD \cdot \sin \widehat {KBD} = AB \cdot \sin \widehat {BAD} \cdot \sin \widehat {KBD}\].

Vậy \[GE = KD.\]

a) Không gian mẫu của phép thử là: \(\Omega = \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6\,;\,\,7\,;\,\,8\,;\,\,9\,;\,\,10} \right\}.\)

Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = 10\).

b) Vì hai thẻ khác nhau thì ghi hai số khác nhau và rút ngẫu nhiên 1 tấm thẻ nên các kết quả có thể xảy ra đồng khả năng với nhau.

Đếm các trường hợp thuận lợi cho biến cố E:

TH1: Rút được tấm thẻ ghi số 1. Tổng tất cả các số từ 9 tấm thẻ còn lại là: 54 (chia hết cho 3).

TH2: Rút được tấm thẻ ghi số 4. Tổng tất cả các số từ 9 tấm thẻ còn lại là: 51 (chia hết cho 3).

TH3: Rút được tấm thẻ ghi số 7. Tổng tất cả các số từ 9 tấm thẻ còn lại là: 48 (chia hết cho 3).

TH4: Rút được tấm thẻ ghi số 10. Tổng tất cả các số từ 9 tấm thẻ còn lại là: 45 (chia hết cho 3).

Suy ra \(n\left( E \right) = 4\), do đó \(P\left( E \right) = \frac{4}{{10}} = \frac{2}{5}\).