Biết phương trình bậc hai ${x^2} - 3x + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$ và ${x_2}$, tính giá trị của biểu thức $Q = \frac{{3{x_2} - 1}}{{{x_1}}} + \frac{{3{x_1}}}{{{x_2}}} - {x_1}$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Toán năm 2026 Hà Nội !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì phương trình có nghiệm ${x_1},{x_2}$ nên theo hệ thức Viète ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 3}\\{{x_1}{x_2} = 1}\end{array}} \right.$.

Biến đổi biểu thức $Q$:

$Q = \frac{{3{x_2} - 1}}{{{x_1}}} + \frac{{3{x_1}}}{{{x_2}}} - {x_1} = \frac{{3{x_2}}}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_1}}} + \frac{{3{x_1}}}{{{x_2}}} - {x_1} = 3\left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right) - \left( {\frac{{1 + x_1^2}}{{{x_1}}}} \right) = \frac{{3\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)}}{{{x_1}{x_2}}} - \frac{{x_1^2 + 1}}{{{x_1}}}.$

Ta có $x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {3^2} - 2 \cdot 1 = 7$.

Vì ${x_1}$ là nghiệm của phương trình nên $x_1^2 - 3{x_1} + 1 = 0$ suy ra $x_1^2 + 1 = 3{x_1}$.

Thay vào biểu thức $Q$ ta được: $Q = 3 \cdot \frac{7}{1} - \frac{{3{x_1}}}{{{x_1}}} = 21 - 3 = 18$.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một tổ sản xuất lập kế hoạch may áo với số lượng áo mỗi ngày may được là như nhau. Trong 3 ngày đầu, mỗi ngày tổ đã may theo đúng kế hoạch. Trong 7 ngày tiếp theo, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã may được nhiều hơn 5 chiếc áo so với kế hoạch. Vì vậy sau 10 ngày, tổ đã may được tổng số 335 chiếc áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất may bao nhiêu chiếc áo?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số áo mỗi ngày tổ sản xuất may theo kế hoạch là $x$ (chiếc, $x \in {\mathbb{N}^*}$).

Số áo may được trong 3 ngày đầu là: $3x$ (chiếc).

Thực tế, trong 7 ngày tiếp theo, mỗi ngày tổ may được nhiều hơn 5 chiếc, tức là $x + 5$ (chiếc).

Số áo may được trong 7 ngày tiếp theo là: $7\left( {x + 5} \right)$ (chiếc).

Vì sau 10 ngày, tổ đã may được tổng số 335 chiếc áo nên ta có phương trình:

\[3x + 7\left( {x + 5} \right) = 335\]

\[3x + 7x + 35 = 335\]

\[10x = 300\]

\[x = 30\] (thỏa mãn ĐK).

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất dự định may 30 chiếc áo.

Câu 2

(0,5 điểm) Một công ty dự định thuê một kho xưởng và điều động một số công nhân để hoàn thành đơn hàng 1000 sản phẩm. Chi phí thuê kho xưởng được tính theo ngày với giá 3 triệu đồng một ngày. Biết một ngày mỗi công nhân làm được 5 sản phẩm và công ty dự định thưởng mỗi công nhân 1 triệu đồng sau khi đơn hàng được hoàn thành. Công ty muốn tổng chi phí thuê kho xưởng và thưởng công nhân khi hoàn thành đơn hàng là nhỏ nhất. Hỏi công ty nên điều động bao nhiêu công nhân và thuê kho xưởng trong bao nhiêu ngày?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số công nhân cần điều động là $x$ (người) và số ngày thuê kho xưởng là $y$ (ngày) $\left( {x,\,\,y \in {\mathbb{N}^*}} \right).$

Mỗi ngày một công nhân làm được 5 sản phẩm nên trong $y$ ngày, $x$ công nhân làm được $5xy$ sản phẩm.

Theo đề bài ta có $5xy \ge 1000$ hay $xy \ge 200$ nên $y \ge \frac{{200}}{x}$.

Tổng chi phí thuê kho xưởng và thưởng công nhân là: $T = x + 3y$ (triệu đồng).

Ta có: $T = x + 3y \ge x + \frac{{600}}{x} = \frac{{{x^2} - 49x + 600}}{x} + 49 = \frac{{\left( {x - 24} \right)\left( {x - 25} \right)}}{x} + 49$.

– Với $x = 25$ thì $T \ge 49$.

– Với $x > 25$, do $x \in {\mathbb{N}^*}$ nên $x \ge 26$, suy ra $\left( {x - 24} \right)\left( {x - 25} \right) > 0$ do đó $T > 49$.

– Với $x < 25$, thì $\left( {x - 24} \right)\left( {x - 25} \right) > 0$ suy ra $T > 49$.

Tóm lại với mọi $x$ nguyên dương thì $T \ge 49$, dấu bằng xảy ra khi $x = 25$ và $y = 8$.

Vậy công ty nên điều động 25 công nhân và thuê kho xưởng trong 8 ngày để chi phí là nhỏ nhất (49 triệu đồng).

Câu 3