(0,5 điểm) Một công ty cần vận chuyển hàng từ kho hàng \[A\] đến trung tâm phân phối \[D\]. Trên bản đồ, hai điểm \[A\] và \[D\] nằm cùng phía đối với tuyến đường thẳng \[HK\]. Biết khoảng cách từ kho hàng \[A\] đến tuyến đường \[HK\] là 4 km, khoảng cách từ trung tâm phân phối \[D\] đến tuyến đường \[HK\] là 3 km, độ dài \[HK\] bằng 20 km. Công ty dự định xây dựng lộ trình cho xe vận chuyển đi theo đường gấp khúc \[ABCD\], trong đó \[B,\,\,C\] thuộc đoạn \[HK\] (như hình vẽ). Tốc độ trung bình của xe trên các đoạn \[AB,\,\,BC,\,\,CD\] lần lượt là 30 km/h, 50 km/h và 40 km/h. Hãy xác định vị trí các điểm \[B,\,\,C\] trên đoạn \[HK\] sao cho thời gian di chuyển từ \[A\] đến \[D\] là nhỏ nhất.

Đặt \(HB = x\) km với \(x \ge 0\); \(KC = y\) km với \(y \ge 0\).

Vì tổng độ dài \(HK = 20\) km nên \(BC = 20 - x - y\) điều kiện \(x + y \le 20\).

Áp dụng định lý Pythagore cho hai tam giác vuông \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) và \(\Delta DKC\) vuông tại \(K\), ta có:

\(AB = \sqrt {A{H^2} + H{B^2}}  = \sqrt {{4^2} + {x^2}}  = \sqrt {{x^2} + 16} \)

\(CD = \sqrt {D{K^2} + K{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {y^2}}  = \sqrt {{y^2} + 9} \)

Vì tốc độ trung bình của xe trên các đoạn \(AB,BC,CD\) lần lượt là 30 km/h, 50 km/h và 40 km/h nên thời gian của xe trên các đoạn \(AB,BC,CD\) lần lượt là \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{{30}}\), \(\frac{{20 - x - y}}{{50}}\), \(\frac{{\sqrt {{y^2} + 9} }}{{40}}\) giờ.

Khi đó ta có biểu thức tổng thời gian di chuyển của xe là:

\(T = \frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{{30}} + \frac{{20 - x - y}}{{50}} + \frac{{\sqrt {{y^2} + 9} }}{{40}}\)

\(T = \left( {\frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{{30}} - \frac{x}{{50}}} \right) + \left( {\frac{{\sqrt {{y^2} + 9} }}{{40}} - \frac{y}{{50}}} \right) + \frac{{20}}{{50}}\)

Đặt \(M = \frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{{30}} - \frac{x}{{50}}\); \(N = \frac{{\sqrt {{y^2} + 9} }}{{40}} - \frac{y}{{50}}\).

Để \(T\) nhỏ nhất thì \(M,N\) nhỏ nhất.

+) Ta có: \(M = \frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{{30}} - \frac{x}{{50}}\)

\(\frac{{150M}}{{150}} = \frac{{5\sqrt {{x^2} + 16} }}{{150}} - \frac{{3x}}{{150}}\)

\(150M = 5\sqrt {{x^2} + 16}  - 3x\)

Xét bất đẳng thức: \(5\sqrt {{x^2} + 16}  \ge 3x + 16\).

Vì cả hai vế đều dương do \(x \ge 0\), ta bình phương hai vế:

\(25\left( {{x^2} + 16} \right) \ge {\left( {3x + 16} \right)^2}\)

\(25{x^2} + 400 \ge 9{x^2} + 96x + 256\)

\(16{x^2} - 96x + 144 \ge 0\)

\({x^2} - 6x + 9 \ge 0\) hay \({(x - 3)^2} \ge 0\) luôn đúng với mọi \(x\).

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi:

\(x - 3 = 0\)

\(x = 3\) (thỏa mãn).

Giá trị nhỏ nhất của \(M\) đạt được khi \(HB = 3\) km.

+) Ta có: \(N = \frac{{\sqrt {{y^2} + 9} }}{{40}} - \frac{y}{{50}}\)

\(\frac{{200N}}{{200}} = \frac{{5\sqrt {{y^2} + 9} }}{{200}} - \frac{{4y}}{{200}}\)

\(200N = 5\sqrt {{y^2} + 9}  - 4y\)

Xét bất đẳng thức: \(5\sqrt {{y^2} + 9}  \ge 4y + 9\)

Vì cả hai vế đều dương do \(y \ge 0\), ta bình phương hai vế:

\(25\left( {{y^2} + 9} \right) \ge {\left( {4y + 9} \right)^2}\)

\(25{y^2} + 225 \ge 16{y^2} + 72y + 81\)

\(9{y^2} - 72y + 144 \ge 0\)

\({y^2} - 8y + 16 \ge 0\) hay \({\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0\) luôn đúng với mọi \(y\).

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi: \(y - 4 = 0\) hay \(y = 4\) km thỏa mãn.

Giá trị nhỏ nhất của \(N\) đạt được khi \(KC = 4\) km.

Vậy để thời gian di chuyển từ kho \(A\) đến trung tâm phân phối \(D\) là ngắn nhất thì điểm \(B,C\) nằm trên đoạn \(HK\) sao cho \(HB = 3\) km; \(KC = 4\) km.