PHẦN III. TỰ LUẬN (6,0 điểm)

(1,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức \(A = 2\sqrt {20}  - \frac{{15}}{{\sqrt 5 }} + \sqrt {{{\left( {\sqrt 5  - 7} \right)}^2}} \).

b) Giải bất phương trình \(3\left( {x - 5} \right) - 10 \ge 11 + 9x\).

Đáp án: a) Đúng.      b) Đúng.         c) Sai.             d) Đúng.

a) Đúng. Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] theo tỉ số lượng giác, \(\sin B\) bằng cạnh đối chia cạnh huyền, tức là \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\).

b) Đúng. Xét tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] (do \(AH \bot BC\)), \(\sin B\) bằng cạnh đối chia cạnh huyền trong tam giác này, tức là \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\).

c) Sai. Ta có \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}}\) nên \(\sin 60^\circ  = \frac{{10}}{{BC}}\)

Suy ra \(\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{10}}{{BC}}\) nên \(BC = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\) cm.

Khẳng định \(BC = 20\sqrt 3 \) cm là sai.

d) Đúng. Trong tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] đường cao \[AH,\] ta có hệ thức liên hệ giữa diện tích và các cạnh: \(\frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2}AB \cdot AC\).

Ta có \(AB = BC \cdot \cos B = \left( {\frac{{20\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot \cos 60^\circ  = \left( {\frac{{20\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\) cm.

Vậy \(AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{\left( {\frac{{10\sqrt 3 }}{3}} \right) \cdot 10}}{{\frac{{20\sqrt 3 }}{3}}} = \frac{{100\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{3}{{20\sqrt 3 }} = 5\) cm.

Ta có: \(\widehat {EAI} = \widehat {EAD} + \widehat {DAI}\).

Mặc khác ta dễ dàng chứng minh được 5 điểm \(A,E,D,H,C\) cùng thuộc một đường tròn.

Do đó \(\widehat {EAD} = \widehat {ECD}\) mà \(\widehat {ECD} = \widehat {DCB}\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên \(\widehat {EAD} = \widehat {DCB}\).

Ta lại có, \(\widehat {DAI} = \widehat {DBC}\).

Vậy \(\widehat {EAI} = \widehat {DCB} + \widehat {DBC} = \widehat {ADC}\) mà \(\widehat {AEI} = \widehat {ADC}\) (do \(AEDC\) nội tiếp)

Suy ra \(\widehat {EAI} = \widehat {AEI}\) nên \(\Delta AIE\) cân tại \(I\)

Mà \(IK\) là trung tuyến nên \(IK\) đồng thời là phân giác \(\widehat {AIE}\)

Lại có \(\widehat {AIE}\) và \(\widehat {CIM}\) ở vị trí đối đỉnh nên tia là phân giác \(\widehat {CIM}\) sẽ trùng với \(IK\)

Hay nói cách khác \(IK\) đi qua tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta CMI\).