Cho biểu thức \(A = \left( {\sqrt 8 + \sqrt 2 } \right)\sqrt 2 \) và biểu thức \(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 3}} + \frac{1}{{\sqrt x + 3}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x }}\).

Đáp án: a) Đúng.                  b) Sai.        c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Điều kiện xác định của biểu thức \(B\) là \(x \ge 0\), \(\sqrt x  \ne 0\) (nghĩa là \(x > 0\)) và \(\sqrt x  - 3 \ne 0\) (nghĩa là \(x \ne 9\)).

Kết hợp các điều kiện ta được \(x > 0,x \ne 9\).

b) Sai. Biến đổi biểu thức: \(A = \left( {\sqrt 8  + \sqrt 2 } \right)\sqrt 2  = \sqrt {16}  + \sqrt 4  = 4 + 2 = 6\).

c) Đúng. Với \(x > 0,x \ne 9\) ta có:

\(B = \left( {\frac{1}{{\sqrt x  - 3}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 3}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }}\)

\( = \frac{{\sqrt x  + 3 + \sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }}\)

\( = \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  + 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x }}\)

\( = \frac{2}{{\sqrt x  - 3}}.\)

Vậy với \(x > 0,x \ne 9\) thì \(B = \frac{2}{{\sqrt x  - 3}}.\)

d) Sai. Với \(x > 0,x \ne 9\) ta có:

\(B + 1 \le A\)

\(\frac{2}{{\sqrt x  - 3}} + 1 \le 6\)

\(\frac{2}{{\sqrt x  - 3}} \le 5\)

\(\frac{2}{{\sqrt x  - 3}} - 5 \le 0\)

\(\frac{{2 - 5\left( {\sqrt x  - 3} \right)}}{{\sqrt x  - 3}} \le 0\)

\(\frac{{2 - 5\sqrt x  + 15}}{{\sqrt x  - 3}} \le 0\)

\(\frac{{17 - 5\sqrt x }}{{\sqrt x  - 3}} \le 0\)

Trường hợp 1: \[\left\{ \begin{array}{l}17 - 5\sqrt x  \ge 0\\\sqrt x  - 3 < 0\end{array} \right.\] tức \[\left\{ \begin{array}{l}5\sqrt x  \le 17\\\sqrt x  < 3\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  \le \frac{{17}}{5}\\\sqrt x  < 3\end{array} \right.\] suy ra \[\sqrt x  < 3\] nên \[0 < x < 9\] (vì \(x > 0)\).

Do đó trong trường hợp này, bất phương trình có 8 nghiệm nguyên là \(\left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8} \right\}.\)

Trường hợp 2: \[\left\{ \begin{array}{l}17 - 5\sqrt x  \le 0\\\sqrt x  - 3 > 0\end{array} \right.\] tức \[\left\{ \begin{array}{l}5\sqrt x  \ge 17\\\sqrt x  > 3\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  \ge \frac{{17}}{5}\\\sqrt x  > 3\end{array} \right.\] suy ra \[\sqrt x  \ge \frac{{17}}{5}\] nên \[x \ge \frac{{289}}{{25}}\] (vì \(x > 0)\).

Do đó trong trường hợp này bất phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Vậy bất phương trình có vô số nghiệm nguyên.