Kéo và thả biểu thức thích hợp vào các chỗ trống

Hàm số \(y = \sin x + 5\) tuần hoàn với chu kì _________ .

Hàm số \(y = \cot x\) không xác định với mọi \(x\) có dạng  __________ (\(k \in \mathbb{Z}\)).

Đáp án: \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Kẻ \(OK \bot SC\).

Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều và \(ABCD\) là hình vuông nên \(SO \bot (ABCD)\); \(BD \bot (SAC) \Rightarrow SC \bot BD\).

Suy ra \(SC \bot \left( {BKD} \right) \Rightarrow KD \bot SC\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là \(\widehat {OKD}\) và \(\tan \widehat {OKD} = \frac{{OD}}{{OK}}\) (do \(\Delta KOD\) vuông ở \(O\)):

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(AC = 2a \Rightarrow OA = OC = OD = a\).

Trong hình chóp đều \(S.ABCD\), cạnh bên tạo với đáy một góc \(60^\circ \) nên \(\widehat {SAC} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow SO = OA \cdot \tan 60^\circ = a\sqrt 3 \).

Ta có \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} \Rightarrow OK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \tan \widehat {OKD} = \frac{{OD}}{{OK}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án: \(\frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\).

Gọi \(H\) là trung điểm của BC.

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)}\\{\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC}\\{\left( {SBC} \right) \supset SH \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Vì \(CH \cap \left( {SAB} \right) = B \Rightarrow \frac{{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)}} = \frac{{CB}}{{HB}} = 2\)

\( \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow HE//AC \Rightarrow HE \bot AB\)

Trong \(\left( {SHE} \right)\), kẻ \(HK \bot SE,\left( {K \in SE} \right)\) (1)

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot HE}\\{AB \bot SH}\end{array}} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow AB \bot HK\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow HK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = HK\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}}\\{HE = \frac{{AC}}{2} = \frac{{BC \cdot \sin \widehat {ABC}}}{2} = \frac{a}{4}}\end{array}} \right.\)

Xét \(\Delta SHE\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HK\), ta có \(HK = \frac{{SH \cdot HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \frac{{a\sqrt {39} }}{{26}}.\)

Vậy \(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = 2HK = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}.\)