Đề thi ĐGTD Đại học Bách khoa Hà Nội phần Tư duy Toán học (có đáp án) - Đề số 23

Đáp án: \(2\pi ;k\pi \).

Hàm số \(y = \sin x + 5\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).

\(y = \cot x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\) không xác định khi \(x = k\pi \).

Đáp án: \(\left( { - \infty ; - \frac{5}{2}} \right]\).

Ta có \( - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{2m + 1}}{{2 \cdot 1}} = - \frac{{2m + 1}}{2}\).

Suy ra hàm số \(y = {x^2} + (2m + 1)x - m + 3\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{{2m + 1}}{2}} \right)\).

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(( - \infty ;2)\) khi và chỉ khi \(( - \infty ;2) \subset \left( { - \infty ; - \frac{{2m + 1}}{2}} \right).\)

Tức là, \(2 \le - \frac{{2m + 1}}{2} \Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{2} \le - 2 \Leftrightarrow 2m + 1 \le - 4 \Leftrightarrow 2m \le - 5 \Leftrightarrow m \le - \frac{5}{2}\).

Vậy \(m \in \left( { - \infty ; - \frac{5}{2}} \right]\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Kẻ \(OK \bot SC\).

Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều và \(ABCD\) là hình vuông nên \(SO \bot (ABCD)\); \(BD \bot (SAC) \Rightarrow SC \bot BD\).

Suy ra \(SC \bot \left( {BKD} \right) \Rightarrow KD \bot SC\).

Vậy góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là \(\widehat {OKD}\) và \(\tan \widehat {OKD} = \frac{{OD}}{{OK}}\) (do \(\Delta KOD\) vuông ở \(O\)):

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(AC = 2a \Rightarrow OA = OC = OD = a\).

Trong hình chóp đều \(S.ABCD\), cạnh bên tạo với đáy một góc \(60^\circ \) nên \(\widehat {SAC} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow SO = OA \cdot \tan 60^\circ = a\sqrt 3 \).

Ta có \(\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}} \Rightarrow OK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \tan \widehat {OKD} = \frac{{OD}}{{OK}} = \frac{2}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án: Dãy số \(({u_n})\) không bị chặn.

Nếu \(n\) chẵn thì \({u_n} = {5^{2n + 3}} > 0\) tăng lên vô hạn (dương vô cùng) khi \(n\) tăng lên vô hạn nên dãy \(({u_n})\) không bị chặn trên.

Nếu \(n\) lẻ thì \({u_n} = - {5^{2n + 3}} < 0\) giảm xuống vô hạn (âm vô cùng) khi \(n\) tăng lên vô hạn nên dãy \(({u_n})\) không bị chặn dưới.

Vậy dãy số đã cho không bị chặn.

Đáp án: 48; 240; 480.

Xếp A và F ở hai đầu ghế: có 2! cách xếp A và F.

Các vị trí ở giữa: có 4! cách xếp

Vậy có \(2! \cdot 4! = 48\) cách xếp sao cho A và F ở hai đầu ghế.

Xếp A và F ngồi cạnh nhau ta ghép A và F thành 1 nhóm: có 2! cách sắp xếp vị trí bên trong nhóm.

Rồi mang sắp xếp 4 người còn lại và 1 nhóm trên ghế dài: ta được 5! cách xếp.

Vậy có \(2! \cdot 5! = 240\) cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau.

Số cách xếp 6 người bất kỳ là 6! cách

Số cách xếp sao cho A và F ngồi cạnh nhau là 240 cách.

Vậy có \(6!\; - 240 = 480\) cách xếp sao cho A và F không ngồi cạnh nhau.

Đáp án: 1.

Ta có: \({n^{2003}} + {n^{2002}} + 1 = {n^2}({n^{2001}} - 1) + n({n^{2001}} - 1) + {n^2} + n + 1.\)

Với \(n > 1\) ta có:

\({n^{2001}} - 1 = {({n^3})^{667}} - 1\) chia hết cho \({n^3} - 1\) nên chia hết cho \({n^2} + n + 1\)

Do đó: \({n^{2003}} + {n^{2002}} + 1\; \vdots \;{n^2} + n + 1\) và \({n^2} + n + 1 > 1\) nên \({n^{2003}} + {n^{2002}} + 1\) là hợp số.

Với \(n = 1\) thì \({n^{2003}} + {n^{2002}} + 1 = 3\) là số nguyên tố.

Đáp án: Sai – Đúng.

Ta có \({2^{51}} - 1 = {({2^3})^{17}} - 1\; \vdots \;{2^3} - 1 = 7\) nên phát biểu thứ nhất sai.

Ta có \({2^{100}} = 2 \cdot {2^{99}} = 2 \cdot {({2^3})^{33}} = 2 \cdot {(9 - 1)^{33}} = 2 \cdot (B(9) - 1) = 2 \cdot B(9) - 2 = B(9) + 7\) nên phát biểu thứ hai đúng.

Đáp án: 3.

Gọi \(x\) là số bi đỏ bạn A thêm vào.

Khi đó ta có: \(|\Omega | = 12 + 10 + 5 + x = x + 27\)

Số cách lấy bi đỏ là \(x + 12\).

Xác suất lấy được viên bi đỏ là: \(\frac{{x + 12}}{{x + 27}}\)

Khi đó \(\frac{{x + 12}}{{x + 27}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 3\).