Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng $a^2$ chia cho 5 dư 1.

Biến đổi vế trái:

${\left(a+b+c\right)}^3$= ${\left[\left(a+\right)+c\right]}^3$ = ${\left(a+b\right)}^3$+3${\left(a+b\right)}^2$ c+3(a+b)$c^2$+$c^3$

      = $a^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ + $b^3$ + 3($a^2$ + 2ab + $b^2$)c + 3a$c^2$ + 3b$c^2$ + $c^3$

      = $a^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ + $b^3$ + 3$a^2$c + 6abc + 3$b^2$c + 3a$c^2$ + 3b$c^2$ + c3

      = $a^3$ + $b^3$ + $c^3$ + 3$a^2$b + 3a$b^2$ + 3$a^2$c + 6abc + 3$b^2$c + 3a$c^2$ + 3b$c^2$

      = $a^3$ + $b^3$ + $c^3$ + (3$a^2$b + 3a$b^2$) +( 3$a^2$c + 3abc)+ (3abc + 3$b^2$c)+(3a$c^2$ + 3b$c^2$)

      = $a^3$ + $b^3$ + $c^3$ + 3ab(a + b) + 3ac(a + b) + 3bc(a + b) + 3$c^2$(a + b)

      = $a^3$ + $b^3$ + $c^3$ + 3(a + b)(ab + ac + bc + $c^2$)

      = $a^3$ + $b^3$ + $c^3$ + 3(a + b)[a(b + c) + c(b + c)]

      = $a^3$ + $b^3$ + $c^3$ + 3(a + b)(b + c)(a + c) (đpcm)

Ta có: A = 4x – $x^2$ + 3

              = 7 – $x^2$ + 4x – 4

              = 7 – ($x^2$ – 4x + 4)

      = 7 – ${\left(x-2\right)}^2$

Vì ${\left(x-2\right)}^2$ ≥ 0 với mọi x nên A = 7 – ${\left(x-2\right)}^2$ ≤ 7

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 khi x – 2 = 0 hay x = 2