Cho hàm số: y = –$x^4$ – $x^2$ + 6

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: y = x/6 –1

a) TXĐ: D = R

Sự biến thiên:

y′ = 3$x^2$ – 6x = 3x(x – 2)

y′=0 ⇔ 

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (–$\infty$;0), (2;+$\infty$)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; $y_{CĐ}$ = y(0) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; $y_{CT}$ = y(2) = -4.

Giới hạn: 

Điểm uốn: y” = 6x – 6, y” = 0 ⇔ x = 1; y(1) = –2

Suy ra đồ thị có điểm uốn I(1; -2)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại O(0;0), A(3;0). Đồ thị đi qua điểm B(-1;-4); C(2;-4).

b) $x^3$ – 3$x^2$ – m = 0 ⇔ $x^3$ – 3$x^2$ = m$x^3$ – 3$x^2$ – m = 0 ⇔ $x^3$ – 3$x^2$ = m (∗)

Phương trình (∗) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Từ đó suy ra: – 4 < m < 0.

a) y = –($m^2$ + 5m)$x^3$ + 6m$x^2$ + 6x – 5

y′ = –3($m^2$ + 5m)$x^2$ + 12mx + 6

Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu.

Ta xét các trường hợp:

    +) m2 + 5m = 0 ⇔ 

– Với m = 0 thì y’ = 6 nên hàm số luôn đồng biến.

– Với m = -5 thì y’ = -60x + 6 đổi dấu khi x đi qua .

    +) Với $m^2$ + 5m ≠ 0. Khi đó, y’ không đổi dấu nếu

Δ' = 36$m^2$ + 18($m^2$ + 5m) ≤ 0 ⇔ 3$m^2$ + 5m ≤ 0 ⇔ –5/3 ≤ m ≤ 0

– Với điều kiện đó, ta có –3($m^2$ + 5m) > 0 nên y’ > 0 và do đó hàm số đồng biến trên R.

Vậy với điều kiện –5/3 ≤ m ≤ 0 thì hàm số đồng biến trên R.

b) Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì y’(1) = 0. Khi đó:

y′(1) = –3$m^2$ – 3m + 6 = 0 ⇔ 

Mặt khác, y” = –6($m^2$ + 5m)x + 12m

    +) Với m = 1 thì y’’ = -36x + 12. Khi đó, y’’(1) = -24 < 0 , hàm số đạt cực đại tại x = 1.

    +) Với m = -2 thì y’’ = 36x – 24. Khi đó, y’’(1) = 12 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1.