Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: $x^3-7x^2+2\left(m^2+6m\right)x-8=0.$

Chọn D

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ lập thành một cấp số nhân.

Theo định lý Vi-ét, ta có $x_1.x_2.x_3=8$

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có $x_1{x}_3=x_2^2$. Suy ra ta có $x_2^3=8\iff x_2=2.$

Với nghiệm x=2 thay vào phương trình đã cho ta có

$$\begin{gathered} 2^3- 7.2^2+ 2.(m^2+ 6m).2 - 8 = 0 \\ \iff 4m^2+\hspace{0.17em} 24m - 28 = 0 \end{gathered}$$

$m^2+6m-7=0\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-7\end{array}\right.$ 

+ Điều kiện đủ: Với m= 1 hoặc m = -7 thì $m^2+6m=7$ nên ta có phương trình: $x^3-7x^2+14x-8=0.$

Giải phương trình này, ta được các nghiệm là 1,2,4 

Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị q=2

Vậy m= 1 và m=  -7  là các giá trị cần tìm.