Cho hai đường thẳng MN, PQ cắt nhau tại O tạo thành bốn góc khác góc bẹt. Biết $\widehat{NOP}=\frac{2}{3}\widehat{MOP}$. Tính số đo của mỗi góc tạo thành

a) Liệt kê các cặp góc đối đỉnh

Ÿ Xét các cặp góc “đơn”:

Góc 1 đối đỉnh với góc 5; Góc 2 đối đỉnh với góc 6; Góc 3 đối đỉnh với góc 7; Góc 4 đối đỉnh với góc 8. Có tất cả 4 góc “đơn” đối đỉnh.

Ÿ Xét các cặp góc “ghép đôi” (ghép hai góc đơn kề nhau thành một góc “ghép đôi”):

Góc 12 đối đỉnh với góc 56; Góc 23 đối đỉnh với góc 67; Góc 34 đối đỉnh với góc 78; Góc 45 đối đỉnh với góc 81. Có tất cả 4 cặp góc “ghép đôi” đối đỉnh.

Ÿ Xét các cặp góc “ghép ba” (ghép ba góc đơn kề nhau thành một góc “ghép ba”):

Góc 123 đối đỉnh với góc 567; Góc 234 đối đỉnh với góc 678; Góc 345 đối đỉnh với góc 781; Góc 456 đối đỉnh với góc 812. Có tất cả 4 cặp góc “ghép ba” đối đỉnh.

Vậy tổng cộng có $4.3=12$ cặp góc đối đỉnh.

b) Xây dựng công thức tính số cặp góc đối đỉnh.

Có 4 đường thẳng cắt nhau tại một điểm nên có: $4.2=8$ (tia).

Số góc do 8 tia tạo ra là $\frac{8.7}{2}=28$ (góc).

Không kể góc bẹt thì số góc còn lại là: $28-4=24$ (góc).

Mỗi góc trong 24 góc này đều có một góc đối đỉnh với nó nên số cặp góc đối đỉnh được tạo thành là 24 : 2 = 12 (cặp).

* Nhận xét: Nếu có n đường thẳng cắt nhau tại một điểm thì số cặp góc đối đỉnh (không kể góc bẹt) được tạo thành là n(n-1).

Thật vậy, số tia do n đường thẳng cắt nhau tại một điểm tạo ra là 2n (tia).

Số góc do 2n tia tạo ra là: $\frac{2n\left(2n-1\right)}{2}=n\left(2n-1\right)$.

Không kể n góc bẹt thì số góc còn lại là: $n\left(2n-1\right)-n=2n^2-n-n=2n^2-2n=2n\left(n-1\right)$.

Số cặp góc đối đỉnh là: $\frac{2n\left(n-1\right)}{2}=n\left(n-1\right)$.

Xét hai góc đối đỉnh AOC và BOD. Gọi tia OM là tia phân giác của góc AOC; tia ON là tia phân giác của góc BOD. Ta phải chứng tỏ hai tia OM, ON đối nhau.

Ta có $\widehat{AOC}=\widehat{BO\text{D}}$ (hai góc đối đỉnh) mà $\widehat{O_1}=\widehat{O_2};\widehat{O_3}=\widehat{O_4}$ nên $\widehat{O_1}=\widehat{O_3}$ (một nửa của hai góc bằng nhau).

Vì $\widehat{AOB}=180°$ nên $\widehat{AO\text{D}}+\widehat{DOB}=180°$

$\Rightarrow \widehat{AO\text{D}}+\widehat{O_4}+\widehat{O_3}=180°$

$\Rightarrow \widehat{AOD}+\widehat{O_4}+\widehat{O_1}=180°$ (vì $\widehat{O_1}=\widehat{O_3}$).

Do đó $\widehat{MON}=180°$.

Suy ra hai tia OM, ON đối nhau