Cho đẳng thức $\frac{(\mathrm{x}+3)\mathrm{M}}{\mathrm{x}-3}=\frac{(\mathrm{x}-1)\mathrm{N}}{{\mathrm{x}}^2-9}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 3$. Tìm một cặp đa thức M và N thỏa mãn đẳng thức đã cho.

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{1}{\mathrm{x}+2}=\frac{2\mathrm{x}-1}{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-2}$ với x $\ne$ -2 và x $\ne$ $\frac{1}{2}$

b) $\frac{{\mathrm{y}}^2-5\mathrm{y}+4}{\mathrm{y}-4}=\frac{{\mathrm{y}}^2-3\mathrm{y}+2}{\mathrm{y}-2}$ với y $\ne$ 2 và y $\ne$ 4.

Tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{\mathrm{A}}{2\mathrm{x}-3}=\frac{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}}{4{\mathrm{x}}^2-9}$ với x $\ne \pm \frac{3}{2}$;           

b) $\frac{{\mathrm{b}}^2-3\mathrm{b}}{2{\mathrm{b}}^2-3\mathrm{b}-9}=\frac{{\mathrm{b}}^2+3\mathrm{b}}{\mathrm{A}}$ với $\mathrm{b}\ne -\frac{3}{2}$ và $\mathrm{b}\ne \pm 3$.

Trong mỗi đẳng thức sau, hãy tìm đa thức M:

a) $\frac{3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-5}{\mathrm{M}}=\frac{3\mathrm{x}-5}{2\mathrm{x}-3}$ với $\mathrm{x}\ne -1$ và $\mathrm{x}\ne \frac{3}{2};$

b) $\frac{2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-2}{{\mathrm{x}}^2-4}=\frac{\mathrm{M}}{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 2.$

Tìm đa thức B trong mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{2\mathrm{y}-1}{(\mathrm{y}-3)\mathrm{B}}=\frac{1}{{\mathrm{y}}^2-4\mathrm{y}+3}$ với $\mathrm{y}\ne \frac{1}{2};\mathrm{y}\ne 1$ và $\mathrm{y}\ne 3;$

b) $\frac{\mathrm{a}-1}{{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}+4}=\frac{\mathrm{B}}{{\mathrm{a}}^3-8}$ và $\mathrm{a}\ne 2$.

Tìm đa thức N thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

a) $\frac{\mathrm{x}+1}{\mathrm{N}}=\frac{{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+4}{{\mathrm{x}}^3+8}$ với $\mathrm{x}\ne -1$ và $\mathrm{x}\ne -2$

b) $\frac{(\mathrm{x}-3)\mathrm{N}}{3+\mathrm{x}}=\frac{2{\mathrm{x}}^3-8{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+36}{2+\mathrm{x}}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 3$ và $\mathrm{x}\ne -2.$

Tìm một cặp đa thức P và Q thỏa mãn đẳng thức:

$\frac{(\mathrm{x}+1)\mathrm{P}}{{\mathrm{x}}^2-4}=\frac{(\mathrm{x}-1)\mathrm{Q}}{{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+4}$ với $\mathrm{x}\ne \pm 2.$

Cho hai phân thức $\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}$ và $\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}}$ thỏa mãn $\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{M}}{\mathrm{N}}$ và $\mathrm{A}\ne \mathrm{B}.$

Chứng minh: $\mathrm{M}\ne \mathrm{N}$ và $\frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{\mathrm{M}+\mathrm{N}}=\frac{\mathrm{B}}{\mathrm{N}}.$