Cho tam giác ABC có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi E' là điểm đối xứng H qua AC, F' là điểm đối xứng H qua AB. Chứng minh:

a, Tứ giác BCE'F' nội tiếp đường tròn (O)

b, Năm điểm A, F', B, C, E' cùng thuộc một đường tròn

c, AO và EF vuông góc nhau

d, Khi A chạy trên (O) thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF không đổi

Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB. M là một điẻm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A, C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB

a, Chứng minh CBKH là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh: $\widehat{ACM}=\widehat{ACK}$

c, Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C

d, Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại điểm A; cho P là điểm nằm trên d ao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nưanr mặt phẳng bờ AB và $\frac{AP.MB}{MA}=R$. Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M, AM cắt (O) tại điểm thứ hai D. Gọi E là trung diểm củ đoạn AD, EC cắt (O) tại điẻm thứ hai F. Chứng minh:

a, Tứ giác OEBM là tứ giác nội tiếp

b, $M{B}^2=MA.MB$

c, $\widehat{BFC}=\widehat{MOC}$

d, BF song song AM

Cho tam giác ABC nhọn, có H là trực tâm, nội tiếp đường tròn tâm O đường kính AM = 2R

a, Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành

b, Gọi N là điểm đối xứng của M qua AB. Chứng minh tứ giác AHBN nội tiếp được trong một đường tròn

c, Gọi E là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng

d, Giả sử AB = R$\sqrt{3}$. Tính diện tích phần chung của đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHBN

Cho đường tròn (O) điểm M nằm ngoài đường tròn (O). Đường thẳng MO cắt (O) tại E và F (ME < MF).Vẽ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC của (O) (C là tiếp điểm, A nằm giữa hai điểm M và B, A và C nằm khác phía đối với đường thẳng MO)

a, Chứng minh MA. MB = ME.MF

b, Gọi H là hình chiêu vuông góc của điểm c lên đuờng thẳng MO. Chứng minh tứ giác AHOB nội tiếp

c, Trên nửa mặt phẳng bờ OM có chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính MF; nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của (O) ở K. Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KF. Chứng minh các đường thẳng MS và KC vuông góc nhau

d, Gọi P và Q lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EFS và ABS và T là trung điểm của KS. Chứng minh ba điểm P, Q, T thẳng hàng

Cho đường tròn (O) và một dây BC cố định không đi qua O. Trên tia đối của tia BC lấy một điểm A bất kì. Vẽ các tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N là các tiếp điểm). MN cắt các đưòng AO và BC lần lượt ở H và K. Gọi I là trung điểm của BC

a, Chứng minh: AH.AO = AB.AC = $M{A}^2$

b, Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp

c, Vẽ dây MP song song với BC. Chứng minh N, I, P thẳng hàng

d, Khi A di động trên tia đôi của tia BC, chứng minh trọng tâm tam giác MBC chạy trên một đường tròn cố định 

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đển (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyên MNP (MN < MP) đến (O). Gọi K là trung điểm của NP

a, Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai

b, Chứng minh tia KM là phân giác của góc $\widehat{AKB}$

c, Gọi Q là giao điểm thứ hai của BK với (O). Chứng minh AQ song song NP

d, Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh: MA² = MH.MO = MN.MP

e, Chứng minh bốn điểm N, H, O, P cùng thuộc một đường tròn