a, Cho x, y là các số thực dương. Chứng minh:

$\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ ≥ $\frac{4}{x+y}$

b, Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a+2b+c}$ + $\frac{1}{b+2c+a}$ + $\frac{1}{c+2a+b}$ ≤ $\frac{1}{a+3b}$ + $\frac{1}{b+3c}$ + $\frac{1}{c+3a}$

1. Trên đường tròn (O) đường kính AB, lấy điểm D (D ≠ A, D ≠ B). Gọi E là điểm chính giữa cung nhỏ BD. Lấy điểm C trên đoạn thẳng AB (C ≠ A, C ≠ B). Đường thẳng CE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là F. Gọi G là giao điểm của AE và DF.

a, Chứng minh ∠BAE = ∠DFE và AGCF là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh CG vuông góc với AD

c, Kẻ đường thẳng đi qua C, song song với AD và cắt DF tại H. Chứng minh CH = CB

2. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 2 cm và chiều cao bằng hai lần đường kính đáy. Tính thể tích của hình trụ đó

1. Cho phương trình: $\left(m-1\right)x^2-2\left(m+1\right)x+m=0$

a, Giải phương trình khi m = 2

b, Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm $x_1;x_2$ phân biệt thỏa mãn điều kiện sau: $\left|x_1-x_2\right|\ge 2$

2. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình

Hai người dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong. Họ làm với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ hai vẫn tiếp tục làm. Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi nên người thứ hai đã làm xong xông việc còn lại trong 3 giờ 20 phút. Hỏi neeys mỗi người thợ làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì mất bao lâu mới xong công việc nói trên?

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l}\left(2x-3\right)\left(2y+4\right)=4x\left(y-3\right)+54\\ \left(x+1\right)\left(3y-3\right)=3y\left(x+1\right)-12\end{array}\right.$

Cho hai biểu thức:

A = $\frac{\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt{7+2\sqrt{10}}}$

B = $\frac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}$ + $\frac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}$ – $\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}$ với x ≥ 0, x ≠ 1

a, Rút gọn các biểu thức A và B

b, So sánh B với $\frac{2}{3}$