Cho các biểu thức: P = $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}+\frac{x-4\sqrt{x}-9}{9-x}$; Q = $\frac{\sqrt{x}+5}{3-\sqrt{x}}$ với x ≥ 0; x ≠ 9

a, Rút gọn biểu thức P

b, Tìm x sao cho P = 3

c, Đặt M = P : Q. Tìm x để |M| < 1/2

a, Xét tứ giác ADMO có:

∠DMO = ${90}^0$ (do M là tiếp tuyến của (O))

∠DAO = ${90}^0$ (do AD là tiếp tuyến của (O))

=> ∠DMO + ∠DAO = ${180}^0$

=> Tứ giác ADMO là tứ giác nội tiếp

b, Do D là giao điểm của 2 tiếp tuyến DM và DA nên OD là tia phân giác của ∠AOM

=>(AOD = 1/2∠AOM

Mặt khác ta có (ABM là góc nội tiếp chắn cung AM)

=> ∠ABM = 1/2∠AOM

=> ∠AOD = ∠ABM

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=> OD // BM

Xét tam giác ABN có:

OM// BM; O là trung điểm của AB

=> D là trung điểm của AN

c, Ta có: ΔOBM cân tại O; OE ⊥ MB => OE là đường trung trực của MB

=> EM = EB = > ΔMEB cân tại E => ∠EMB = ∠EBM (1)

ΔOBM cân tại O => ∠OMB = ∠OBM (2)

Cộng (1) và (2) vế với vế, ta được:

∠EMB + ∠OMB = ∠EBM + ∠OBM ⇔ ∠EMO =∠EBO ⇔ ∠EBO = 90^o

=>OB ⊥ BE

Vậy BE là tiếp tuyến của (O)

d, Lấy điểm E trên tia OA sao cho OE = OA/3

Xét tam giác ABI có OI vừa là đường cao vừa là trung tuyến

=> Tam giác ABI cân tại I => IA = IB; ∠IBA = ∠IAB

Ta có:

=> ∠NAI = ∠INA => ΔINA cân tại I => IA = IN

Tam giác NAB vuông tại A có: IA = IN = IB

=> IA là trung tuyến của tam giác NAB

Xét ΔBNA có:

IA và BD là trung tuyến; IA ∩ BD = {J}

=> J là trọng tâm của tam giác BNA

Xét tam giác AIO có:

$\frac{AJ}{AI}$ = $\frac{AE}{AO}$ = $\frac{2}{3}$

=> JE // OI

=> J nằm trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng bằng R/3.

Phần đảo: Lấy điểm J' bất kì thuộc đường thẳng d

Do d // OI (cùng vuông góc AB) nên ta có:

$\frac{AJ\text{'}}{AI}$ = $\frac{AE}{AO}$

Mà $\frac{AE}{AO}$ = $\frac{2}{3}$ => $\frac{AJ\text{'}}{AI}$ = $\frac{2}{3}$

AI là trung tuyến của tam giác NAB

=> J' là trọng tâm tam giác NAB

Vậy khi M di chuyển trên (O) thì J di chuyển trên đường thẳng d vuông góc với AB và cách O một khoảng là R/3

Đổi 1 giờ 12' = $\frac{6}{5}$ h

Gọi thời gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là x (h) (x > $\frac{6}{5}$)

Thời gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể là y (h) (y > $\frac{6}{5}$)

Trong 1h vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$ (bể nước)

Trong 1h vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$ (bể nước)

=> Trong 1h cả hai vòi chảy được $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ (bể nước)

Do cả 2 vòi chảy trong 1 giờ 12 phút thì đầy bể nên ta có phương trình: $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{5}{6}$

Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 30 phút và vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được 7/12 bể nên ta có phương trình:

$\frac{1}{2x}$ + $\frac{1}{y}$ = $\frac{7}{12}$

Ta có hệ phương trình:

(thoả mãn điều kiện)

Vậy vòi 1 chảy 1 mình trong 2 giờ thì đầy bể

Vòi 2 chảy 1 mình trong 3 giờ thì đầy bể