Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt hai lần, chữ số 3 có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần?

Chọn C.

Gọi số cần tìm của tập S có dạng $\overline{abc}$. Trong đó $\left\{\begin{array}{l}a,b,c \in A\\ a\ne 0\\ a\ne b; b\ne c; c\ne a\end{array}\right.$.

Khi đó

• Số cách chọn chữ số a có 5 cách chọn vì $a\ne 0$.
• Số cách chọn chữ số b có  5 cách chọn vì $b\ne a$.
• Số cách chọn chữ số c có 4 cách chọn vì  $c\ne a$ và $c\ne b$.

Do đó tập S có 5.5.4 = 100 phần tử.

Không gian mẫu là chọn ngẫu nhiên  số từ tập $S$.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $\left|\Omega \right|=C_{100}^1=100$.

Gọi X là biến cố Số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu .

Khi đó ta có các bộ số là $\overline{1b2}$ hoặc $\overline{2b4}$ thỏa mãn biến cố X và cứ mỗi bộ thì b có  4 cách chọn nên có tất cả 8 số thỏa yêu cầu.

Suy ra số phần tử của biến cố X là $\left|{\Omega }_X\right|=8$.

Vậy xác suất cần tính $P\left(X\right)=\frac{\left|{\Omega }_X\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{8}{100}=\frac{2}{25}$.

Chọn đáp án C

Nếu đã có nữ thì rõ ràng có nhà khoa học Toán, nếu đã có nhà khoa học Vật Lí thì chắc chắn có nam. Do đó ta chỉ cần xét các trường hợp sau:

+) Có đúng 1 nữ nhà khoa học Toán, có 2 cách chọn.

 Lúc này chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn đề bài, có thể có hoặc không nhà khoa học Toán nam nào khác, số cách chọn 3 nhà khoa học còn lại là $C_5^1.C_6^2+C_5^2.C_6^1+C_5^3$.

Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là: $2.\left(C_5^1.C_6^2+C_5^2.C_6^1+C_5^3\right)$.

+) Có đúng 2 nữ nhà khoa học Toán, có 1 cách chọn.

 Cũng với ý tưởng như trên, chỉ cần có nhà khoa học Vật Lí là thỏa mãn, số cách chọn 2 nhà khoa học còn lại là $C_5^1.C_6^1+C_5^2.$.

 Vậy số cách lập nhóm trong trường hợp này là: $C_5^1.C_6^1+C_5^2.$.

Vậy số cách lập cần tìm là: $2.\left(C_5^1.C_6^2+C_5^2.C_6^1+C_5^3\right)+C_5^1.C_6^1+C_5^2=375$.