Xác định giá trị của tham số m để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-(m-2)y=2\\ (m-1)x-2y=m-5\end{array}\right.$ có nghiệm duy nhất

Đáp án C

Xét hệ $\left\{\begin{array}{l}x-(m-2)y=2\\ (m-1)x-2y=m-5\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}(m-2)y=x-2\\ 2y=(m-1)x-m+5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}(m-2)y=x-2\\ y=\frac{m-1}{2}x-\frac{m}{2}+\frac{5}{2}\end{array}\right.$

TH1: Với m – 2 = 0 $\iff$ m = 2 ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}0.y=x-2\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\end{array}\right.$

Nhận thấy hệ này có nghiệm duy nhất vì hai đường thẳng x = 2 và $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ cắt nhau

TH2: Với m – 2 $\ne$ 0 $\iff$ m $\ne$ 2 ta có hệ:

$\left\{\begin{array}{l}(m-2)y=x-2\\ y=\frac{m-1}{2}x-\frac{m}{2}+\frac{5}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{m-2}x-\frac{2}{m-2}\\ y=\frac{m-1}{2}x-\frac{m}{2}+\frac{5}{2}\end{array}\right.$

Để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng:

d: $y=\frac{1}{m-2}x-\frac{2}{m-2}$ và d’: $y=\frac{m-1}{2}x-\frac{m}{2}+\frac{5}{2}$ cắt nhau

$\iff \frac{1}{m-2}\ne \frac{m-1}{2}\iff (m–1)(m–2)\ne 2$

$\iff m^2–3m+2\ne 2\iff m^2–3m\ne 0$

$\iff m(m-3)\ne 0\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m\ne 3\end{array}\right.$

Suy ra m $\ne${0; 2; 3}

Kết hợp cả TH1 và TH2 ta có m$\ne${0; 3}

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi $m\ne \left\{0;3\right\}$