Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có $\mathrm{A}\text{'}\left(\sqrt{3};-1;1\right)$, hai đỉnh B, C thuộc trục Oz và AA’ = 1 (C không trùng với O). Biết vectơ $\overrightarrow{\mathrm{u}}=\left(\mathrm{a};\mathrm{b};2\right)$ với $\mathrm{a},\mathrm{b}\in \mathrm{R}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng A’C. Tính $\mathrm{T}={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3;3;1), B(0;2;1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 7 = 0. Đường thẳng d nằm trong (P) sao cho mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-2;1;3), C(2;-1;1), D(0;3;1). Phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B sao cho C, D cùng phía so với (P) và khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-3}{1}=\frac{\mathrm{y}-3}{3}=\frac{\mathrm{z}}{2}$, mặt phẳng $\left(\mathrm{\alpha }\right):\mathrm{x}+\mathrm{y}-\mathrm{z}+3=0$ và điểm A (1; 2; - 1). Đường thẳng $∆$ đi qua A vắt d và song song với mặt phẳng $\left(\mathrm{\alpha }\right)$ có phương trình là:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{-3}=\frac{\mathrm{y}-3}{2}=\frac{\mathrm{z}-1}{-2}$ và mặt phẳng (P): x – 3y + z – 4 = 0. Phương trình hình chiếu của d trên (P) là:

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4y – z + 3 = 0 và hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1:\frac{\mathrm{x}-1}{1}=\frac{\mathrm{y}+2}{4}=\frac{\mathrm{z}-2}{3},$ ${\mathrm{\Delta }}_2:\frac{\mathrm{x}+4}{5}=\frac{\mathrm{y}+7}{9}=\frac{\mathrm{z}}{1}$. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2$ có phương trình là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y = 0. Phương trình nào sau đây là phương trình đường thẳng qua A(-1;3;-4) cắt trục Ox và song song với mặt phẳng (P):

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1;1;1), B(1;0;1). Mặt phẳng (P) đi qua A, B và (P) cách điểm O một khoảng lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng (P) là: