Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại D

1: Biết $\widehat{ACB}={50}^0$, tính $\widehat{HDK}$

Đáp án D

Vì $Mx\perp AB\Rightarrow \widehat{AMx}={90}^o$

Xét $\Delta AMC$ có: $\left\{\begin{array}{l}\widehat{AMC}={90}^o\\ MA=MC\left(gt\right)\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{MAC}=\widehat{MCA}={45}^0$ (tính chất tam giác cân)

Do đó $\widehat{DCE}=\widehat{MCA}={45}^0$ (đối đỉnh)

Xét $\Delta BMD$ có: $\left\{\begin{array}{c}\widehat{BMD}={90}^o\\ MB=MD\left(gt\right)\end{array}\Rightarrow \widehat{MBD}\right.=\widehat{MDB}={45}^0$ (tính chất tam giác cân)

Xét $\Delta CDE$ có: $\widehat{CDE}=\widehat{DCE}={45}^0$

$\Rightarrow \widehat{CDE}+\widehat{DCE}={90}^o\Rightarrow \widehat{DEC}={90}^o$

Lại có: $\widehat{DEC}+\widehat{AEB}={180}^0$ (kề bù)

$\Rightarrow \widehat{AEB}={180}^0-\widehat{DEC}={180}^0-{90}^o={90}^o$

Đáp án A

Xét $\Delta ABC$ có BD và CE là đường cao cắt nhau tại I suy ra AI là đường cao của tam giác đó

Mà AI cắt BC tại M nên $AM\perp BC$

Vì $\Delta ABC$ cân tại A (gt) nên  AM là đường cao cũng chính là đường trung trực của tam giác đó (tính chất tam giác cân)

$\Rightarrow BM=MC$ (tính chất đường trung trực)

Vì $\left\{\begin{array}{l}CE\perp AB\\ BD\perp AC\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{BEC}=\widehat{BDC}={90}^0$

Xét $\Delta BEC$ có M là trung điểm của BC nên suy ra EM là trung tuyến của ${\Delta }_{v}BEC$

$\Rightarrow EM=\frac{BC}{2}$ (1) (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông)

Xét $\Delta BDC$ có M là trung tuyến của BC nên suy ra DM là trung tuyến của ${\Delta }_{v}BDC$

$\Rightarrow DM=\frac{BC}{2}$ (2) (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông)

Từ (1)(2) $\Rightarrow EM=DM\Rightarrow \Delta EMD$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)