Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD vuông góc với nhau từng đôi một và AB = 3a , AC = 6a, AD = 4a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CD, DB. Tính thể tích khối đa diện AMNP.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3). Tính đường kính d của mặt cầu (S) đi qua ba điểm trên và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oxy).

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và DM là:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{1}$ và mặt phẳng (α): x + y -z – 2 = 0. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (α), đồng thời vuông góc và cắt đường thẳng d?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ΔABC biết A(2;0;0), B(0;2;0), C(1;1;3). Gọi H(x₀;y₀;z₀) là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống BC. Khi đó x₀ + y₀ + z₀ bằng:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x-y+z-10 = 0 và đường thẳng . Đường thẳng Δ cắt (P) và d lần lượt tại M và N sao cho A(1;3;2) là trung điểm MN. Tính độ dài đoạn MN.

Trong không gian Oxyz, cho bốn đường thẳng:

$$\begin{gathered} d_1:\frac{x-3}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+1}{1} , d_2:\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{1}, \\ {d}_3:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1} , d_4:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{1} \end{gathered}$$

Số đường thẳng trong không gian cắt cả bốn đường thẳng trên là:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A (1; 0; -1), B (2; 3; -1), C (-2; 1; 1). Phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là: