Gieo 2 đồng xu A và B một cách độc lập với nhau. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Xác suất để khi gieo hai đồng xu hai lần thì cả hai đồng xu đều ngửa là

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm $x^3-3m{x}^2+4mx+m-2=0\left(*\right)$  

Giả sử phương trình có 3 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ lập thành cấp số nhân $\Rightarrow x_2^2=x_1.x_3$

Theo Vi-et ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=-\frac{b}{a}\\ x_1.x_2+x_1.x_3+x_2.x_3=\frac{c}{a}\\ x_1.x_2.x_3=-\frac{d}{a}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1.x_2.x_3=2-m\\ x_2^2=x_1.x_3\end{array}\right.\Rightarrow m=2-x_2^3$

Thay tất cả vào phương trình (*) ta có $x_2\left(3x_2-4\right)\left(x_2^3-2\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}{x}_2=0\Rightarrow m=2\\ x_2=\frac{4}{3}\Rightarrow n=-\frac{10}{27}\\ x_2=\sqrt[3]{2}\Rightarrow m=0\end{array}\right.$

Thử lại, chỉ có $m=2$  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án D

Gọi M, N là trung điểm của AB, AC và trọng tâm của DABC.

Ta có  $B^{\text{'}}G\perp \left(ABC\right)\Rightarrow \widehat{\left(B{B}^{\text{'}},\left(ABC\right)\right)}=\widehat{B^{\text{'}}BG}={60}^o.$

$V_{A^{\text{'}}.ABC}=\frac{1}{3}.S_{\Delta ABC}.B^{\text{'}}G=\frac{1}{6}AC.BC.B^{\text{'}}G$

Xét DB'BG vuông tại G, có $\widehat{B^{\text{'}}BG}={60}^o\Rightarrow B^{\text{'}}G=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Đặt $AB=2x.$  Trong DABC vuông tại C có $\widehat{BAC}={60}^o.$

$\Rightarrow AC=\frac{AB}{2}=x,BC=x\sqrt{3}$

Do G là trọng tâm $\Delta ABC\Rightarrow BN=\frac{3}{2}BG=\frac{3a}{4}.$

Trong DBNC vuông tại C, ta có $B{N}^2=N{C}^2+B{C}^2$

$\iff \frac{9a^2}{16}=\frac{x^2}{4}+3x^2\iff x^2=\frac{9a^2}{52}\Rightarrow x=\frac{3a}{2\sqrt{13}}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}AC=\frac{3a}{2\sqrt{13}}\\ BC=\frac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}\end{array}\right.$

Vậy $V_{A^{\text{'}}ABC}=\frac{1}{6}.\frac{3a}{2\sqrt{13}}.\frac{3a\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{9a^3}{208}.$