Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=2a, AD=2a , SA vuông góc với đáy và SA=2a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳn...

Đáp án B Cách 1: Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC khi đó MPQ//SAC⇒MN,SAC=MN,MPQ Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên PQ ⇒NH⊥MPQ Suy ra: MN,MPQ=NMH^ Ta có: NH=2SNPQPQ=2.14SABCSAC2=SABCDAC=AB.BCAB2+BC2=a2.2aa6=2a3MN=AM2+AN2=a2+a2=a2 Suy ra: MH=MN2−NH2=a22−2a32=6a3 Suy ra cosNMP^=MHMN=a63:a2=33 Cách 2: Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ và cho a = 1. Khi đó: A0;0;0, B2;0;0, C2;2;0, D0;2;0, S0;0;2 ⇒M22;0;22N0;1;0⇒NM→=22;−1;22 Có AC→=2;2;0AS→=0;0;2⇒AC→,AS→=22;−2;0⇒nSAC→=2;−1;0 Suy ra sinMN,SAC=uMN→.nSAC→uMN→.nSAC→=2223=63 ⇒cosMN,SAC=1−632=33

Câu hỏi:

20/04/2022 905

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy ABCD là hình chữ nhật $A B = \sqrt{2} a, A D = 2 a$ , SA vuông góc với đáy và $S A = \sqrt{2} a$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SB và AD (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $(S A C)$ ?

A. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{1}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Cách 1: Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của AB, BC khi đó $(M P Q) / / (S A C)$ $\Rightarrow (M N, (S A C)) = (M N, (M P Q))$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên PQ $\Rightarrow N H ⊥ (M P Q)$

Suy ra: $(M N, (M P Q)) = \hat{N M H}$

Ta có: $\{\begin{cases} N H = \frac{2 S_{N P Q}}{P Q} = \frac{2. \frac{1}{4} S_{A B C S}}{\frac{A C}{2}} = \frac{S_{A B C D}}{A C} = \frac{A B . B C}{\sqrt{A B^{2} + B C^{2}}} = \frac{a \sqrt{2} .2 a}{a \sqrt{6}} = \frac{2 a}{\sqrt{3}} \\ M N = \sqrt{A M^{2} + A N^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2} \end{cases}$

Suy ra: $M H = \sqrt{M N^{2} - N H^{2}} = \sqrt{{(a \sqrt{2})}^{2} - {(\frac{2 a}{\sqrt{3}})}^{2}} = \frac{\sqrt{6} a}{3}$

Suy ra $\cos \hat{N M P} = \frac{M H}{M N} = \frac{a \sqrt{6}}{3} : a \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = căn bậc 2 của 2 a, AD = 2a, , SA vuông góc với đáy (ảnh 2)

Cách 2: Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ và cho a = 1.

Khi đó: $A (0; 0; 0), B (\sqrt{2}; 0; 0), C (\sqrt{2}; 2; 0), D (0; 2; 0), S (0; 0; \sqrt{2})$

$\Rightarrow \{\begin{cases} M (\frac{\sqrt{2}}{2}; 0; \frac{\sqrt{2}}{2}) \\ N (0; 1; 0) \end{cases} \Rightarrow \vec{N M} = (\frac{\sqrt{2}}{2}; - 1; \frac{\sqrt{2}}{2})$

Có $\{\begin{cases} \vec{A C} = (\sqrt{2}; 2; 0) \\ \vec{A S} = (0; 0; \sqrt{2}) \end{cases} \Rightarrow [\vec{A C}, \vec{A S}] = (2 \sqrt{2}; - 2; 0) \Rightarrow \vec{n_{(S A C)}} = (\sqrt{2}; - 1; 0)$

Suy ra $\sin (M N, (S A C)) = \frac{|\vec{u_{M N}} . \vec{n_{(S A C)}}|}{|\vec{u_{M N}}| . |\vec{n_{(S A C)}}|} = \frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow \cos (M N, (S A C)) = \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = căn bậc 2 của 2 a, AD = 2a, , SA vuông góc với đáy (ảnh 3)

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một biển quảng cáo có dạng hình vuông ABCD và I là trung điểm của đoạn thẳng CD. Trên tấm biển đó có đường Parabol đỉnh I đi qua A, B và cắt đường chéo BD tại M. Chi phí để sơn phần tô hình tổ ong (có diện tích $S_{1}$ ) là 200000 đồng/m², chi phí sơn phần tô đậm (có diện tích $S_{2}$ ) là 150000 đồng/m² và phần còn lại là 100000 đồng/m². Số tiền để sơn theo cách trên gần nhất với số tiền nào dưới đây, biết $A B = 4 m$ ?

A. 2,51 triệu đồng

B. 2,36 triệu đồng

C. 2,58 triệu đồng

D. 2,34 triệu đồng

Lời giải

Đáp án B

Diện tích hình vuông là: $S = 4^{2} = 16 m^{2}$

Gọi $S_{3}$ là phần diện tích còn lại (không tô đậm).

Gắn hệ tọa độ nhưu hình vẽ:

Do $I (0; 4)$ là đỉnh của parabol (P) nên có phương trình: $y = a x^{2} + 4 \overset{B (2; 0) \in (P)}{\to} 0 = 4 a + 4 \Leftrightarrow a = - 1 \Rightarrow y = - x^{2} + 4$

Ta có $B (2; 0), D (- 2; 4) \Rightarrow$ phương trình $D B : y = - x + 2$

Xét phương trình: $- x^{2} + 4 = - x + 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = 2 \end{array} \Rightarrow M (- 1; 3)$ . Khi đó $\{\begin{cases} S_{1} = \int_{- 1}^{2} ((- x^{2} + 4) - (- x + 2)) d x = \int_{- 1}^{2} (- x^{2} + x + 2) d x = \frac{9}{2} m^{2} \\ S_{2} = \int_{- 2}^{- 1} (- x^{2} + 4) d x + \int_{- 1}^{2} (- x + 2) d x = \frac{37}{6} m^{2} \end{cases} \overset{(*)}{\to} S_{3} = S - (S_{1} + S_{2}) = \frac{16}{3}$

Suy ra tổng tiền: $T = \frac{9}{2} .200000 + \frac{37}{6} .150000 + \frac{16}{3} .100000 = 2368333, (3) \approx 2,37$ triệu đồng.

Chú ý: Ở bài toán này ta có thể sử dụng công thức giải nhanh: “Diện tích giới hạn bởi parabol (P) và trục hoành là:

$S_{1} + S_{2} = \frac{2}{3} I O . A B = \frac{2}{3} .4.4 = \frac{32}{3} m^{2} \Rightarrow S_{2} = \frac{32}{3} - S_{1} = \frac{32}{3} - \frac{9}{2} = \frac{37}{6} m^{2}$

Một biển quảng cáo có dạng hình vuông ABCD và I là trung điểm của đoạn thẳng CD. Trên tấm biển đó có đường Parabol (ảnh 2)

Câu 2

Cho hình chóp $S A B C$ có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a, SA vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$ , SA = a (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng

A. $a \sqrt{3}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $2 a$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

Lời giải

Đáp án B

Ta có: $d (A, (S B C)) = A H$ (như hình vẽ)

Có: $A M = \frac{(2 a) . \sqrt{3}}{2} = a \sqrt{3}$

$\Rightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{1}{A S^{2}} + \frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}} \Rightarrow A H = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 2a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) (ảnh 2)

Câu 3

Giả sử $z_{1}, z_{2}$ là hai trong số các số phức z thỏa mãn $(z + i) (\bar{z} + 3 i)$ là số thuần ảo. Biết rằng $|z_{1} - z_{2}| = 3$ , giá trị lớn nhất của $|z_{1} + 2 z_{2}|$ bằng

A. $3 \sqrt{2} - 3$

B. $3 + 3 \sqrt{2}$

C. $\sqrt{2} + 1$

D. $\sqrt{2} - 1$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ và có đồ thị như hình vẽ bên.

Số nghiệm thực của phương trình $2 f (x^{2} - 1) - 5 = 0$

A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Số cách xếp 3 học sinh nam và 2 học sinh nữ thành một hàng ngang sao cho hai học sinh nữ luôn luôn đứng cạnh nhau là

A. 24

B. 12

C. 120

D. 48

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, tọa độ giao điểm của đường thẳng $d : \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{- 1}$ với mặt phẳng $(P) : 2 x - y + z - 1 = 0$ là

A. $H (0; - 1; 1)$

B. $F (1; 1; 0)$

C. $E (2; 3; - 1)$

D. $K (0; - 1; 2)$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho khối lăng trụ $A B C . A' B' C'$ có $A' B = 4 a$ . Gọi M là trung điểm của cạnh $B B' v à C M = a \sqrt{2}$ . Biết khoảng cách giữa $A' B$ và CM bằng a và góc tạo bởi hai đường thẳng $A' B$ và CM là $30^{o}$ (tham khảo hình bên), thể tích khối lăng trụ $A B C . A' B' C'$ bằng

A. $2 \sqrt{2} a^{3}$

B. $\frac{\sqrt{2} a^{3}}{2}$

C. $6 \sqrt{2} a^{3}$

D. $\frac{3 \sqrt{2} a^{3}}{2}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học