Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên trên đoạn [-2017;2017] để phương trình x2-1log2x2+1-m2(x2-1)logx2+1+m+4=0 có đúng hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn 1≤x1≤x2≤3 A. 4017. B. 4028. C. 4012. D. 4003.

Đáp án B Điều kiện Phương trình đã cho tương đương với: Đặt t=x2≥1, theo bài ra ta có 1≤x1<x2≤3⇔1≤x12<x22≤9⇒t∈1;9 Xét hàm số f(t)=2-(t-1).log(t+1) trên đoạn 1;9. Ta có ⇒Hàm số f(t) đồng biến trên đoạn 1;9. Khi đó f(1)≤f(t)≤9 hay 1≤f(t)≤4. Đặt u=2(x2-1).log(x2+1)⇒u∈0;4. Khi đó phương trình * trở thành u2-2m.u+2m+8=01. Nhận thấy u=1 không phải là nghiệm của phương trình 1. Với u≠1 thì phương trình 1 tương đương với u2+8=2m(u-1)⇔2m=u2+8u-12 Xét hàm số gu=u2+8u-1 trên đoạn 0;4 1. Ta có g'u=u2-2u-8u-12; g'(u)=0⇔[u=-2u=4. Mà u∈0;4 1 nên u=4. Mặt khác, có g(0)=-8; g(4)=8; limx→1-g(u)=-∞; limx→1+g(u)==∞. Bảng biến thiên: Yêu cầu bài toán ⇔ Phương trình 2 có nghiệm duy nhất trên đoạn 0;4 1. Suy ra Mặt khác m∈ℤ, m∈-2017;2017 nên suy ra Vậy có tất cả 2017-4+1+-4+2017+1=4028 giá trị m nguyên thỏa mãn bài toán.

Câu hỏi:

05/03/2020 1,452

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên trên đoạn [-2017;2017] để phương trình $(x^{2} - 1) \log^{2} (x^{2} + 1) - m \sqrt{2 (x^{2} - 1)} \log (x^{2} + 1) + m + 4 = 0$

có đúng hai nghiệm $x_{1}, x_{2}$ thỏa mãn $1 \leq |x_{1}| \leq |x_{2}| \leq 3$

A. 4017.

B. 4028.

C. 4012.

D. 4003.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 240 câu Bài tập Hàm số mũ, logarit ôn thi THPT Quốc gia có lời giải !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Điều kiện

Phương trình đã cho tương đương với:

Đặt $t = x^{2} \geq 1$ , theo bài ra ta có $1 \leq |x_{1}| < |x_{2}| \leq 3 \Leftrightarrow 1 \leq x_{1}^{2} < x_{2}^{2} \leq 9 \Rightarrow t \in [1; 9]$

Xét hàm số $f (t) = \sqrt{2 - (t - 1)} . \log (t + 1)$ trên đoạn $[1; 9]$ .

Ta có

$\Rightarrow$ Hàm số $f (t)$ đồng biến trên đoạn $[1; 9]$ . Khi đó $f (1) \leq f (t) \leq 9$ hay $1 \leq f (t) \leq 4$ .

Đặt $u = \sqrt{2 (x^{2} - 1)} . \log (x^{2} + 1) \Rightarrow u \in [0; 4]$ . Khi đó phương trình $(*)$ trở thành $u^{2} - 2 m . u + 2 m + 8 = 0 (1)$ .

Nhận thấy $u = 1$ không phải là nghiệm của phương trình $(1)$ . Với $u \neq 1$ thì phương trình $(1)$ tương đương với $u^{2} + 8 = 2 m (u - 1) \Leftrightarrow 2 m = \frac{u^{2} + 8}{u - 1} (2)$

Xét hàm số $g (u) = \frac{u^{2} + 8}{u - 1}$ trên đoạn $[0; 4] \ \{1\}$ .

Ta có $g' (u) = \frac{u^{2} - 2 u - 8}{{(u - 1)}^{2}}$ ; $g' (u) = 0 \Leftrightarrow [_{u = - 2}^{u = 4}$ . Mà $u \in [0; 4] \ \{1\}$ nên $u = 4$ .

Mặt khác, có $g (0) = - 8$ ; $g (4) = 8$ ; $\lim_{x \to 1^{-}} g (u) = - \infty$ ; $\lim_{x \to 1^{+}} g (u) = = \infty$ .

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow$ Phương trình $(2)$ có nghiệm duy nhất trên đoạn $[0; 4] \ \{1\}$ .

Suy ra

Mặt khác $m \in ℤ$ , $m \in [- 2017; 2017]$ nên suy ra

Vậy có tất cả $(2017 - 4 + 1) + (- 4 + 2017 + 1) = 4028$ giá trị m nguyên thỏa mãn bài toán.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay