Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên trên đoạn [-2017;2017] để phương trình $\left(x^2-1\right){\log }^2\left(x^2+1\right)-m\sqrt{2(x^2-1)}\log \left(x^2+1\right)+m+4=0$ 

có đúng hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $1\le \left|x_1\right|\le \left|x_2\right|\le 3$

Đáp án B

Điều kiện 

Phương trình đã cho tương đương với:

Đặt $t=x^2\ge 1$, theo bài ra ta có $1\le \left|x_1\right|<\left|x_2\right|\le 3\iff 1\le x_1^2<x_2^2\le 9\Rightarrow t\in \left[1;9\right]$

Xét hàm số $f\left(t\right)=\sqrt{2-(t-1)}.\log (t+1)$ trên đoạn $\left[1;9\right]$.

Ta có

$\Rightarrow$Hàm số $f\left(t\right)$ đồng biến trên đoạn $\left[1;9\right]$. Khi đó $f\left(1\right)\le f\left(t\right)\le 9$ hay $1\le f\left(t\right)\le 4$.

Đặt $u=\sqrt{2(x^2-1)}.\log (x^2+1)\Rightarrow u\in \left[0;4\right]$. Khi đó phương trình $\left(*\right)$ trở thành $u^2-2m.u+2m+8=0\left(1\right)$.

Nhận thấy $u=1$ không phải là nghiệm của phương trình $\left(1\right)$. Với $u\ne 1$ thì phương trình $\left(1\right)$ tương đương với $u^2+8=2m(u-1)\iff 2m=\frac{u^2+8}{u-1}\left(2\right)$

Xét hàm số $g\left(u\right)=\frac{u^2+8}{u-1}$ trên đoạn $\left[0;4\right]\backslash \left\{1\right\}$.

Ta có $g\text{'}\left(u\right)=\frac{u^2-2u-8}{{\left(u-1\right)}^2}$; $g\text{'}\left(u\right)=0\iff {[}_{u=-2}^{u=4}$. Mà $u\in \left[0;4\right]\backslash \left\{1\right\}$ nên $u=4$.

Mặt khác, có $g\left(0\right)=-8$; $g\left(4\right)=8$; $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(u\right)=-\infty$; $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }g\left(u\right)==\infty$.

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán $\iff$ Phương trình $\left(2\right)$ có nghiệm duy nhất trên đoạn  $\left[0;4\right]\backslash \left\{1\right\}$.

Suy ra

Mặt khác $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, $m\in \left[-2017;2017\right]$ nên suy ra

Vậy có tất cả $\left(2017-4+1\right)+\left(-4+2017+1\right)=4028$ giá trị m nguyên thỏa mãn bài toán.