Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{A}=120°.$ Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho MA, NA lần lượt vuông góc với AB, AC. Chứng minh rằng:

a) $\Delta BAM=\Delta CAN;$

b) Các tam giác ANB, AMC lần lượt cân tại N, M.

a) Do $MA\perp AB,NA\perp AC$ nên tam giác BAM vuông tại A, tam giác CAN vuông tại A.

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ hay $\widehat{ABM}=\widehat{ACN}.$

Xét hai tam giác BAM vuông tại A và CAN vuông tại A có:

$\widehat{ABM}=\widehat{ACN}$ (chứng minh trên).

AB = AC (chứng minh trên).

Vậy $\Delta BAM=\Delta CAN$ (góc nhọn – cạnh góc vuông).

b) Xét tam giác ABC có: $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180°.$

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ (do tam giác ABC cân tại A).

Do đó $2\widehat{ABC}=180°-\widehat{BAC}=180°-120°=60°.$

Do đó $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=30°.$

Do $\Delta BAM=\Delta CAN$ (chứng minh ở ý a) nên AM = AN (2 cạnh tương ứng).

Do đó tam giác AMN cân tại A (1).

Xét tam giác CAN vuông tại A có $\widehat{ANC}+\widehat{ACN}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{ANC}=90°-\widehat{ACN}=90°-30°=60°.$

Từ (1) và (2) suy ra tam giác AMN đều.

Do đó $\widehat{MAN}=60°.$

Ta có: $\widehat{MAN}+\widehat{NAB}=\widehat{MAB}$

Suy ra $\widehat{NAB}=\widehat{MAB}-\widehat{MAN}=90°-60°=30°.$

Do đó $\widehat{NAB}=\widehat{ABN}=30°.$

Suy ra tam giác ANB cân tại N.

Ta có: $\widehat{MAN}+\widehat{MAC}=\widehat{NAC}$

Suy ra $\widehat{MAC}=\widehat{NAC}-\widehat{MAN}=90°-60°=30°.$

Do đó $\widehat{MAC}=\widehat{MCA}=30°.$

Suy ra tam giác AMC cân tại M.