Bài tập Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng có đáp án

Điểm C cần dựng là điểm thỏa mãn cách đoạn thẳng AB một đoạn bằng 5cm và $\widehat{ABC}=\widehat{CAB}$ (2 mái nghiêng như nhau). Do đó C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Cách dựng như sau:

Bước 1. Lấy điểm M là trung điểm của đoạn AB.

Bước 2. Kẻ tia Mx vuông góc với AB tại M.

Bước 3. Vẽ đường tròn tâm M, bán kính 5 cm, đường tròn cắt tia Mx tại điểm C.

Chứng minh:

 Điểm C thỏa mãn cách đoạn thẳng AB một đoạn bằng 5cm.

Xét tam giác CMA vuông tại M và tam giác CMB vuông tại M có:

AM = MB (theo cách dựng).

CM chung.

Suy ra $\Delta CMA=\Delta CMB$ (2 cạnh góc vuông).

Do đó $\widehat{CBM}=\widehat{CAM }(2 góc tương úng) hay\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Tam giác ABC có AB = AC = 3 cm nên tam giác ABC cân tại A.

Trong tam giác cân ABC có:

Cạnh bên: AB, AC.

Cạnh đáy: BC.

Góc ở đỉnh: $\widehat{BAC}.$

Góc ở đáy: $\widehat{ABC},\widehat{ACB}.$

Tam giác ADC có AD = AC = 3 cm nên tam giác ADC cân tại A.

Trong tam giác cân ADC có:

Cạnh bên: AD, AC.

Cạnh đáy: CD.

Góc ở đỉnh: $\widehat{DAC}.$

Góc ở đáy: $\widehat{AC\text{D}},\widehat{ADC}.$

Tam giác ABD có AB = AD = 3 cm nên tam giác ABD cân tại A.

Trong tam giác cân ABD có:

Cạnh bên: AB, AD.

Cạnh đáy: BD.

Góc ở đỉnh: $\widehat{DAB}.$

Góc ở đáy: $\widehat{AB\text{D}},\widehat{ADB}.$

a) Xét hai tam giác ABD và ACD có:

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A).

AD chung.

BD = CD (do D là trung điểm của đoạn thẳng BC).

Vậy $\Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D}$ (cạnh – cạnh – cạnh).

b) Do $\Delta AB\text{D}=\Delta AC\text{D}$ nên $\widehat{ABD}=\widehat{AC\text{D}}$ hay $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.$

Vậy hai góc B và C của tam giác ABC bằng nhau.

a) Xét tam giác MPK có $\widehat{MPK}+\widehat{PMK}+\widehat{MKP}=180°.$

Do đó $\widehat{MKP}=180°-\widehat{MPK}-\widehat{PMK}$ (1).

Xét tam giác NPK có $\widehat{NPK}+\widehat{PNK}+\widehat{NKP}=180°.$

Do đó $\widehat{NKP}=180°-\widehat{NPK}-\widehat{PNK}$ (2).

Mà $\widehat{MPK}=\widehat{NPK}$ ( do PK la tia phân giác của góc MPN) và $\widehat{PMK}=\widehat{PNK}$ (theo giả thiết) nên từ (1) và (2) có $\widehat{MKP}=\widehat{NKP}.$

b) Xét hai tam giác MPK và NPK có:

$\widehat{MPK}=\widehat{NPK}$ (do Pk là tia phân giác của góc MPN).

PK chung.

$\widehat{MKP}=\widehat{NKP}$ (chứng minh trên).

Vậy $\Delta MPK=\Delta NPK$ (g – c – g).

c) Do $\Delta MPK=\Delta NPK$ nên PM = PN (2 cạnh tương ứng).

Tam giác MNP có PM = PN (chứng minh trên) nên tam giác MNP cân tại P.

Vậy tam giác MNP cân tại P.

Tam giác FDE có FD = FD = 4 cm nên tam giác FDE cân tại F.

Khi đó $\widehat{F\text{D}E}=\widehat{F\text{ED}}=60°.$

Xét tam giác FDE có $\widehat{F\text{D}E}+\widehat{F\text{ED}}+\widehat{DF\text{E}}=180°.$

Do đó $\widehat{DF\text{E}}=180°-\widehat{FE\text{D}}-\widehat{F\text{D}E}=180°-60°-60°=60°.$

Tam giác DEF có $\widehat{\text{DEF}}=\widehat{DFE}=60°$ nên tam giác DEF cân tại D.

Do đó DE = DF = 4 cm.

Vậy $\widehat{F\text{D}E}=\widehat{\text{EFD}}=60°,$ DE = 4 cm.

a)

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}$ nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó AC = BC (1).

Xét tam giác ABC có $\widehat{B}=\widehat{C}$ nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó AB = AC (2).

Từ (1) và (2) có AB = BC = AC.

Lại có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều.

b)

Trường hợp 1. Xét góc 60^o là góc ở đỉnh.

Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}.$

Do đó $\widehat{B}+\widehat{C}=2\widehat{B}.$

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°.$

Khi đó $\widehat{A}+2\widehat{B}=180°.$

Do đó $2\widehat{B}=180°-\widehat{A}=180°-60°=120°.$

Do đó $\widehat{B}=\widehat{C}=60°.$

Tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}=60°$ nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó AC = BC.

Mà AB = AC nên AB = BC = AC.

Lại có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Trường hợp 2. Xét góc 60^o là góc ở đáy.

Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}.$

Do đó $\widehat{C}=60°.$

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°.$

Do đó $\widehat{A}=180°-\widehat{B}-\widehat{C}=180°-60°-60°=60°.$

Tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}$ nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó AC = BC.

Mà AB = AC nên AB = BC = AC.

Lại có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Từ hai trường hợp trên ta thấy tam giác cân có một góc bằng 60^o là tam giác đều.

Vậy tam giác cân có một góc bằng 60^o là tam giác đều.