Bài tập Bài tập cuối chương 9 có đáp án

Xét tam giác ADE có $\widehat{B\text{D}E}$ là góc ngoài của đỉnh D nên $\widehat{B\text{D}E}=\widehat{DA\text{E}}+\widehat{DE\text{A}}>\widehat{DA\text{E}}$

Mà $\widehat{DAE}$ là góc tù nên $\widehat{B\text{D}E}$ là góc tù.

Xét tam giác BDE có:

$\widehat{B\text{D}E}$ là góc tù nên $\widehat{B\text{D}E}$ là góc lớn nhất trong tam giác. Do đó, BE > DE (1)

Xét tam giác ABE có $\widehat{BEC}$ là góc ngoài của đỉnh E nên $\widehat{BEC}=\widehat{E\text{A}B}+\widehat{EBA}>\widehat{E\text{A}B}$

Mà $\widehat{DAE}$ là góc tù nên $\widehat{BEC}$ là góc tù.

Xét tam giác BEC có:

$\widehat{BEC}$ là góc tù nên $\widehat{BEC}$ là góc lớn nhất trong tam giác. Do đó, BC > BE (2)

Từ (1) và (2) suy ra, BC > DE (điều phải chứng minh).

b) Lấy D sao cho M là trung điểm của AD.

Xét DABM và DDCM có:

MA = MD (theo cách vẽ),

$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh),

 MB = MC (do M là trung điểm của BC),

Do đó DABM = DDCM (c.g.c)

Suy ra AB = DC (hai cạnh tương ứng).

Khi đó AB + AC = DC + AC.

Trong DACD có DC + AC > AD (bất đẳng thức tam giác)

Hay AB + AC > AD.

Mà AD = 2AM (do M là trung điểm của AD).

Suy ra AB + AC > 2AM hay AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Vậy AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Xét tam giác ABE có: C là trung điểm của AE nên BC là đường trung tuyến của tam giác ABE.

Ta lại có D là điểm nằm trên BC sao cho BD = 2DC.

Ta có: BC = BD + DC = 2DC + DC = 3DC.

Do đó, BC = 3DC và BC = 2BD hay $DC=\frac{1}{3}BC;BD=\frac{2}{3}BC$.

Điểm D thuộc trung tuyến BC thỏa mãn $DC=\frac{1}{3}BC;BD=\frac{2}{3}BC$ nên D là trọng tâm tam giác ABE.

Suy ra AD là đường trung tuyến của tam giác ABE.

Xét tam giác ABE có: