Giải VTH Toán 7 KNTT Bài 34. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác có đáp án

Nếu AD, BE cắt nhau tại I thì CF đi qua I.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

BG = \[\frac{2}{3}\]BN, CG = \[\frac{2}{3}\]CP,

BG = 2 GN, CG = 2 GP.

Tam giác ABC cân tại A và có BN, CP là hai đường trung tuyến. Ta cần chứng minh BN = CP.

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC; \[\widehat {PBC} = \widehat {NCB}\].

Do N, P lần lượt là trung điểm của AC, AB nên BP = \(\frac{1}{2}\)AB, CN = \(\frac{1}{2}\)AC, do đó BP = CN.

Xét hai tam giác BCP và CBN, ta có:

BP = CN; \[\widehat {PBC} = \widehat {NCB}\]; BC chung, do đó ∆BCP = ∆CBN (c.g.c).

Suy ra CP = BN.

Trong tam giác GBC, vì \[\widehat {GBC} > \widehat {GCB}\] nên GC > GB hay \[\frac{2}{3}\]CN > \[\frac{2}{3}\]BM.

Suy ra CN > BM.

Ta có \(\widehat {IBC} = \frac{{\widehat B}}{2},\,\,\widehat {ICB} = \frac{{\widehat C}}{2}\), \[\widehat {BIC} = 180^\circ - \left( {\frac{{\widehat B}}{2} + \frac{{\widehat C}}{2}} \right)\],

mà \(\frac{{\widehat B}}{2} + \frac{{\widehat C}}{2} = \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = \frac{{180^\circ - \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{180^\circ - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \).

Do đó \[\widehat {BIC}\] = 180° – 30° = 150°.

Do ∆ABC cân tại A nên \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\].

Do BE là tia phân giác của \[\widehat {ABC}\] nên \[\widehat {ABC} = 2\widehat {EBC}\].

Do CF là tia phân giác của \[\widehat {ACB}\] nên \[\widehat {ACB} = 2\widehat {FCB}\].

Mà \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\] nên \[\widehat {EBC} = \widehat {FCB}\].

Xét ∆FBC và ∆ECB có:

\[\widehat {FCB} = \widehat {EBC}\] (chứng minh trên).

BC chung.

\[\widehat {FBC} = \widehat {ECB}\] (do \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\]).

Suy ra ∆FBC = ∆ECB (g.c.g).

Do đó CF = BE (2 cạnh tương ứng).

Xét hai tam giác vuông ABE và MBE, ta có:

BE cạnh chụng, \(\widehat {ABE} = \widehat {MBE}\) (BE là tia phân giác góc ABC).

Do đó ∆ABE = ∆MBE (cạnh huyền – góc nhọn).

Ta có góc \(\widehat {EAI}\) kề bù với góc vuông \(\widehat {BAC}\) nên \(\widehat {EAI} = 90^\circ \).

Trong tam giác vuông AEI có cạnh IE là cạnh huyền nên IE > AE.      (1)

Theo câu a) ∆ABE = ∆MBE nên AE = EM.          (2)