Giải VTH Toán 7 KNTT Luyện tập chung trang 82 có đáp án

Ta có AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC.

Xét hai tam giác vuông ABM và ACM, ta có: AM chung, BM = CM

nên ∆ABM = ∆ACM (hai cạnh góc vuông).

Suy ra AB = AC.

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Gọi giao của BN và CM là F thì NF ⊥ MC tại F.

Trong tam giác MNC có CA \[ \bot \] MN (vì d ⊥ AB tại A), NF \[ \bot \] MC, AC giao với NF tại B nên B là trực tâm của tam giác MNC.

Suy ra BM là đường cao của tam giác MNC hay BM vuông góc với đường thẳng CN.

Gọi tia đối của tia AC là Am. Ta có tia At chia góc mAB thành hai góc \(\widehat {{A_1}}\) và \(\widehat {{A_2}}\), \(\widehat {A{ & _1}} = \widehat {{A_2}}\)

Vì At // BC nên ta có \(\widehat {{A_1}} = \widehat {ACB}\) (hai góc đồng vị) và \(\widehat {{A_2}} = \widehat {ABC}\) (hai góc so le trong).

Suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}} = \widehat {ABC}\). Vậy tam giác ABC là tam giác cân tại đỉnh A.

Ta có S_GBC = S_BGM + S_CGM.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên GM = \(\frac{1}{3}\)AM,

suy ra S_BGM = \[\frac{1}{3}\]S_BAM, S_CGM = \[\frac{1}{3}\]S_ACM.

Suy ra S_GBC = S_BGM + S_CGM = \[\frac{1}{3}\]S_BAM + \[\frac{1}{3}\]S_ACM  = \(\frac{1}{3}\)(S_BAM + S_ACM) = \[\frac{1}{3}\]S_ABC.

Tương tự GN = \(\frac{1}{3}\)BN nên

S_GAC = S_CGN + S_AGN = \[\frac{1}{3}\]S_BCN + \[\frac{1}{3}\]S_ABN  = \(\frac{1}{3}\)(S_BCN + S_ABN) = \[\frac{1}{3}\]S_ABC.

Vì GP = \(\frac{1}{3}\)CP nên

S_GAB = S_BGP + S_AGP = \[\frac{1}{3}\]S_BCP + \[\frac{1}{3}\]S_APC  = \(\frac{1}{3}\)(S_BCP + S_APC) = \[\frac{1}{3}\]S_ABC.

Vậy S_GBC = S_GCA = S_GAB = \(\frac{1}{3}\)S_ABC.