Bài tập Bài 32. Quan hệ đường vuông góc và đường xiên có đáp án

Nếu xuất phát từ điểm O và bơi cùng tốc độ, để bơi sang bờ bên kia nhanh nhất thì quãng đường bơi phải ngắn nhất.

Bài toán đưa về tìm đoạn ngắn nhất trong ba đoạn thẳng OA, OB và OC.

a)

b) Do AH $\mathbf{\perp }$ d nên $\widehat{AHM}$ = 90^o.

Nên tam giác AHM là tam giác vuông.

Suy ra cạnh huyền AM là cạnh huyền.

Mà trong tam giác vuông cạnh huyền là cạnh dài nhất nên AM > AH.

a) Đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC là AB.

Đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng BC là AM.

b) Do AM là đường xiên kẻ từ A đến BC và AB là đường vuông góc kẻ từ A đến BC nên AB là đường ngắn nhất.

Do đó AM > AB.

c) Đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB là CB.

Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng độ dài đoạn BC.

Do ABCD là hình vuông nên BC vuông góc với AB tại B. Do đó, BC = AD = 2 cm.

Vậy khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 2 cm.

Nếu xuất phát từ điểm O và bơi cùng tốc độ, để bơi sang bờ bên kia nhanh nhất thì quãng đường bơi phải ngắn nhất.

Bài toán đưa về tìm đoạn ngắn nhất trong ba đoạn thẳng OA, OB và OC.

Ta có OA là đường vuông góc kẻ từ O đến AC.

          OB và OC là các đường xiên kẻ từ O đến AC.

Do đó OA là đường ngắn nhất.

Vậy để bơi sang bờ bên kia nhanh nhất thì Nam nên chọn đường bơi OA.

Do đó cạnh AN đối diện với $\widehat{AMN}$ là cạnh lớn nhất của DAMN hay AM < AN.

Mà AB = AD (do ABCD là hình vuông)

Do đó nếu M nằm trên cạnh AB hoặc AD thì AM ≤ AB (1)

• Nếu M nằm trên cạnh BC thì BM ≤ BC

Theo khẳng định của câu a) ta có AM ≤ AC (AM = AC khi điểm M trùng điểm C).

Tương tự, nếu M nằm trên cạnh DC thì AM ≤ AC.

Do đó nếu M nằm trên cạnh BC hoặc DC thì AM ≤ AC (2)

• Ta có AB là đường vuông góc kẻ từ A đến BC, AC là đường xiên kẻ từ A đến BC nên AB là đường ngắn nhất

Do đó AC ≥ AB (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra AM ≤ AB ≤ AC.

Suy ra AM lớn nhất bằng AC.

Khi đó M trùng C.

Vậy M trùng C thì AM lớn nhất.

Giả sử tam giác ABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC.

Khi đó AH là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

Vậy chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó.

b) CB là khoảng cách từ C đến AB, CD là khoảng cách từ C đến AD.

BC = CD nên khoảng cách từ C đến AB bằng khoảng cách từ C đến AD.

Do đó C là điểm cách đều hai đường thẳng AB và AD.

Mặt khác, AB ⊥ AD tại A nên điểm A cũng cách đều hai đường thẳng AB và AD.

Vậy hai đỉnh C, A cách đều hai đường thẳng AB và AD.

a)

b) Ta xét các trường hợp sau:

• M nằm giữa B và H: $\widehat{AMB}$ là góc tù nên DABM là tam giác tù.

Khi đó cạnh AB đối diện với $\widehat{AMB}$ là cạnh lớn nhất của DABM.

Hay AM < AB       (1)

• M trùng với H: AH, AB lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ A đến BC.

Khi đó AH là đường ngắn nhất nên AH = AM < AB         (2)

• M nằm giữa H và C: $\widehat{AMC}$ là góc tù nên DAMC là tam giác tù.

Khi đó cạnh AC đối diện với $\widehat{AMC}$ là cạnh lớn nhất của DAMC.

Hay AM < AC

Mà AB = AC (do DABC cân tại A).

Do đó AM < AB    (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có AM < AB.

Vậy AM < AB.

Ta có $\widehat{NMB}$ là góc ngoài tại đỉnh M của tam giác AMN nên $\widehat{NMB}=\widehat{ANM}+\widehat{NAM}>\widehat{NAM}$ 

Do đó $\widehat{NMB}$ là góc tù.

$\Delta NMB$ có $\widehat{NMB}$ là góc tù nên $\Delta NMB$ là tam giác tù.

Do đó cạnh NB đối diện với $\widehat{NMB}$là cạnh lớn nhất trong $\Delta NMB$.

Khi đó MN < NB (1).

$\widehat{CNB}$ là góc ngoài tại đỉnh N của $\Delta ANB$ nên $\widehat{CNB}=\widehat{NBA}+\widehat{BAN}>\widehat{BAN}={90}^o$.

Do đó $\widehat{CNB}$ là góc tù.

$\Delta CNB$ có $\widehat{CNB}$ là góc tù nên $\Delta CNB$ là tam giác tù.

Do đó cạnh BC đối diện với $\widehat{CNB}$ là cạnh lớn nhất trong $\Delta CNB$.

Khi đó NB < BC (2).

Từ (1) và (2) ta có MN < NB < BC.

Vậy MN < BC.