Giải VTH Toán 7 KNTT Bài 26. Phép cộng và phép trừ đa thức một biến có đáp án

Đáp án đúng là: D

Bậc của đa thức P + Q (tổng của hai đa thức P và Q) chính là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng rút gọn của đa thức.

Do đó, nếu bậc của đa thức P lớn hơn bậc của đa thức Q thì hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức P + Q chính là hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức P, vậy bậc của đa thức P + Q bằng bậc của P. Vậy đáp án D là đúng.

Các đáp án A, B, C sai. Giải thích:

+) Chẳng hạn ta lấy P = x² + 1 và Q = x² + x, hai đa thức này đều có bậc 2.

Đa thức P + Q = (x² + 1) + (x² + x) = (x² + x²) + x + 1 = 2x² + x + 1 cũng có bậc là 2.

Vậy bậc của đa thức P + Q bằng bậc của P và bậc của Q.

Ví dụ này suy ra đáp án A, B là sai.

+) Chẳng hạn ta lại lấy P = x² + 1 và Q = – x² + x, hai đa thức này đều có bậc 2.

Đa thức P + Q = (x² + 1) + (– x² + x) = (x² – x²) + x + 1 = x + 1 có bậc 1.

Vậy bậc của đa thức P + Q nhỏ hơn bậc của P và bậc của Q.

Ví dụ này suy ra đáp án C là sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

F(x) + G(x) = (x³ + 3x² – x – 3) + (x³ – 3x² – x + 3)

= x³ + 3x² – x – 3 + x³ – 3x² – x + 3

= (x³ + x³) + (3x² – 3x²) + (– x – x) + (– 3 + 3)

= 2x³ – 2x.

F(x) – G(x) = (x³ + 3x² – x – 3) – (x³ – 3x² – x + 3)

= x³ + 3x² – x – 3 – x³ + 3x² + x – 3

= (x³ – x³) + (3x² + 3x²) + (– x + x) + (– 3 – 3)

= 6x² – 6

Lần lượt thay x = – 3, x = 1, x = 0 và x = – 1 vào F(x) + G(x) ta được:

2 . (– 3)³ – 2 . (– 3) = – 48

2 . 1³ – 2 . 1 = 0

2 . 0³ – 2 . 0 = 0

2 . (– 1)³ – 2 . (– 1) = 0

Vậy x = 1, x = 0, x = – 1 là các nghiệm của đa thức F(x) + G(x).

Lần lượt thay x = 3, x = – 1, x = – 3 và x = 0 vào F(x) – G(x) ta được:

6 . 3² – 6 = 48

6 . (– 1)² – 6 = 0

6 . (– 3)² – 6 = 48

6 . 0² – 6 = – 6

Vậy chỉ có x = – 1 là nghiệm của đa thức F(x) – G(x).

Từ đó suy ra x = 1 là nghiệm của đa thức F(x) + G(x), x = – 1 là nghiệm của đa thức F(x) – G(x).

(x² - 3x + 2) + (4x³ - x² + x - 1) = x² - 3x + 2 + 4x³ - x² + x - 1

= 4x³ + (x² - x²) + (-3x + x) + (2 - 1)

= 4x³ - 2x + 1.

\[\begin{array}{l} - \underline {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - {x^3}\\\end{array}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}\\\end{array}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}\\\end{array}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} - \\\end{array}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}5{\rm{x}}\\3{\rm{x}}\end{array}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l} + \\ + \end{array}\end{array}\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}2\\8\end{array}\end{array}} \\{\rm{ }} - {x^3}{\rm{   }} - 8{\rm{x}} - 6\end{array}\]

Cách thứ nhất:

\[\begin{array}{l} + \underline {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6{x^4} - 4{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + x - \frac{1}{3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 3{x^4} - 2{x^3} - 5{x^2} + x + \frac{2}{3}\end{array}\end{array}} \\{\rm{A}}\,\,{\rm{ + }}\,\,{\rm{B = }}\,\,{\rm{3}}{x^4} - {\rm{6}}{{\rm{x}}^3} - 5{x^2} + 2x + \frac{1}{3}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} - \underline {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6{x^4} - 4{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + x - \frac{1}{3}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 3{x^4} - 2{x^3} - 5{x^2} + x + \frac{2}{3}\end{array}\end{array}} \\{\rm{A }} - {\rm{ B = 9}}{x^4} - 2{{\rm{x}}^3} + 5{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1\end{array}\]

Cách thứ hai:

A + B = (6x⁴ - 4x³ + x - \[\frac{1}{3}\]) + (-3x⁴ - 2x³ - 5x² + x + \[\frac{2}{3}\])

= (6x⁴ - 3x⁴) + (-4x³ - 2x³) - 5x² + (x + x) + \[\left( { - \frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \right)\]

= 3x⁴ - 6x³ - 5x² + 2x + \[\frac{1}{3}\]

A - B = (6x⁴ - 4x³ + x - \[\frac{1}{3}\]) - (-3x⁴ - 2x³ - 5x² + x + \[\frac{2}{3}\])

= 6x⁴ - 4x³ + x - \[\frac{1}{3}\] + 3x⁴ + 2x³ + 5x² - x - \[\frac{2}{3}\]

= (6x⁴ + 3x⁴) + (-4x³ + 2x³) + 5x² + (x - x) + \[\left( { - \frac{1}{3} - \frac{2}{3}} \right)\]

= 9x⁴ - 2x³ + 5x² - 1

• Để tính tổng A + B + C, ta đặt tính như sau:

\[\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,3{x^4} - 2{x^3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - x + 1}\\ + &{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2{x^3} + 4{x^2}\,\,\, + 5x}\\{}&{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 3{x^4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 5}\hline\end{array}\\A + B + C = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 4{x^3} + 6{x^2}\,\,\, + 4x + \,\,6\end{array}\]

• Để tính hai tổng còn lại, ta để ý rằng A – B + C = (A – B) + C và A – B – C = (A – B) – C.

Vì vậy trước hết ta tính A – B:

A – B = (3x⁴ - 2x³ - x + 1) - (-2x³ + 4x² + 5x)

          = 3x⁴ - 2x³ - x + 1 + 2x³ - 4x² - 5x

          = 3x⁴ + (- 2x³ + 2x³) – 4x² + (- x – 5x) + 1

          = 3x⁴ – 4x² – 6x + 1

Từ đó

(A - B) + C = (3x⁴ – 4x² – 6x + 1) + (-3x⁴ + 2x² + 5)

                   = (3x⁴ – 3x⁴) + (– 4x² + 2x²) – 6x + (1 + 5)

= -2x² - 6x + 6.

(A - B) - C = (3x⁴ – 4x² – 6x + 1) - (-3x⁴ + 2x² + 5)

                   = 3x⁴ – 4x² – 6x + 1 + 3x⁴ – 2x² – 5

                   = (3x⁴ + 3x⁴) + (– 4x² – 2x²) – 6x + (1 – 5)

= 6x⁴ - 6x² - 6x - 4.